Α' Διαγωνισμός Επιλογής κάτω των 15,5 ετών, 2016

[Soteris]

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων, που ικανοποιούν τις ισότητες:



Πρόβλημα 2

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με . Από το σημείο φέρουμε κάθετη προς την , η οποία τέμνει την στο σημείο . Πάνω στην προέκταση της προς το παίρνουμε σημείο τέτοιο, ώστε . Φέρουμε την ευθεία , η οποία τέμνει την στο σημείο . Οι κάθετες από τα σημεία και προς την ευθεία τέμνουν την στα σημεία και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

(α) το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο

(β)

Πρόβλημα 3

Έστω θετικός ακέραιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός μπορεί να γραφεί ως διαφορά τετραγώνων δύο θετικών ακέραιων αριθμών.

Πρόβλημα 4

Για έναν τετραψήφιο αριθμό ισχύουν τα παρακάτω:

(α) Κάθε ψηφίο του είναι ένα από τα ψηφία και .

(β) Κάθε δύο συνεχόμενα ψηφία του είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

(γ) Το ψηφίο των χιλιάδων και το ψηφίο των μονάδων είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

(δ) Το ψηφίο των χιλιάδων δεν είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε άλλο ψηφίο.

Να βρείτε πόσοι τέτοιοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν.

[socrates]

Πρόβλημα 3

Έστω θετικός ακέραιος αριθμός. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός μπορεί να γραφεί ως διαφορά τετραγώνων δύο θετικών ακέραιων αριθμών.

viewtopic.php?p=96502#p96502
(και το επόμενο ποστ)

[cretanman]

Πρόβλημα 1

Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων, που ικανοποιούν τις ισότητες:

Η πρώτη εξίσωση γίνεται άρα από την ταυτότητα του Euler παίρνουμε (δε γίνεται να ισχύει γιατί οι αριθμοί είναι θετικοί ακέραιοι).

Άρα οπότε η δεύτερη εξίσωση γίνεται άρα κι έτσι , άρα τελικά οι λύσεις είναι .

Αλέξανδρος

[socrates]

Πρόβλημα 4

Για έναν τετραψήφιο αριθμό ισχύουν τα παρακάτω:

(α) Κάθε ψηφίο του είναι ένα από τα ψηφία και .

(β) Κάθε δύο συνεχόμενα ψηφία του είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

(γ) Το ψηφίο των χιλιάδων και το ψηφίο των μονάδων είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

(δ) Το ψηφίο των χιλιάδων δεν είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε άλλο ψηφίο.

Να βρείτε πόσοι τέτοιοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν.

Υπάρχουν 28 τέτοιοι αριθμοί.
Έστω ΧΕΔΜ ο αριθμός.
Αν Χ=4 τότε, από το (δ), Ε=Δ=Μ=4, άτοπο, από το (γ).
Αν Χ=3 τότε καθένα από τα Ε,Δ,Μ είναι 3 ή 4. Από το (γ), το Μ=4 οπότε από το (β) είναι Ε=4 και Δ=3.
Αν Χ=2 τότε καθένα από τα Ε,Δ,Μ είναι 2 ή 3 ή 4. Αν δε λάβουμε υπόψιν το (γ), τότε λόγω του (β) έχουμε 2χ2χ2=8 αριθμούς. Από αυτούς πρέπει να εξαιρέσουμε όσους δεν υπακούν στο (γ). Αυτοί είναι της μορφής 2ΕΔ2. Το Ε επιλέγεται με 2 τρόπους (είναι 3 ή 4) και τότε το Δ μπορεί να πάρει μόνο μια τιμή (4 ή 3) αντίστοιχα.
Αν Χ=1 τότε καθένα από τα Ε,Δ,Μ είναι 1 ή 2 ή 3 ή 4. Αν δε λάβουμε υπόψιν το (γ), τότε λόγω του (β) έχουμε 3χ3χ3=27 αριθμούς. Από αυτούς πρέπει να εξαιρέσουμε όσους δεν υπακούν στο (γ). Αυτοί είναι της μορφής 1ΕΔ1. Το Ε επιλέγεται με 3 τρόπους (είναι 2 ή 3 ή 4) και τότε το Δ μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές.

Σύνολο, 1+6+21=28 αριθμοί.

[george visvikis]

Πρόβλημα 2

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με . Από το σημείο φέρουμε κάθετη προς την , η οποία τέμνει την στο σημείο . Πάνω στην προέκταση της προς το παίρνουμε σημείο τέτοιο, ώστε . Φέρουμε την ευθεία , η οποία τέμνει την στο σημείο . Οι κάθετες από τα σημεία και προς την ευθεία τέμνουν την στα σημεία και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

(α) το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο

(β)

Διαγωνισμός επιλογής 2016.png (14.52 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

α) Επειδή και , όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, άρα και αφού , το θα είναι μέσο της , οπότε εύκολα προκύπτει ότι και το είναι παραλληλόγραμμο.

β)