Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

Πρώτη μέρα

1. Εννιά σκιέρ ξεκίνησαν από την αφετηρία με την σειρά και διήλθαν μια απόσταση ο καθένας με την δική του σταθερή ταχύτητα. Είναι δυνατόν κάθε σκιέρ να συμμετείχε σε ακριβώς τέσσερεις προσπεράσεις; (Σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε.)

2. Είναι δυνατόν για κάποιο φυσικό αριθμό k να χωρίσουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως k σε δυο ομάδες και να γράψουμε τους αριθμούς κάθε ομάδας στη σειρά (κολλητά) με κάποια διάταξη ώστε, να προκύψουν δυο ίσοι αριθμοί;

3. Στο τρίγωνο ABC

φέρουμε τις διχοτόμους AD, BE

και

, που τέμνονται στο σημείο

. Η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος

τέμνει τις ευθείες

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι τα σημεία A,I,M

και

είναι ομοκυκλικά.

4. Τον φυσικό αριθμό

τον ονομάζουμε «επιτυχημένο», αν για κάθε φυσικό

τέτοιο ώστε, αν ο $\Displaystyle{a^5}$ διαιρείτε με τον $\Displaystyle{b^2}$ τότε και ο $\Displaystyle{a^2}$ διαιρείτε με τον

. Να βρείτε το πλήθος των επιτυχημένων φυσικών αριθμών μικρότερων του 2010.

Δεύτερη μέρα

5. Οι μη μηδενικοί αριθμοί a, b, c

είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ax^2 + bx +c > cx}$ για κάθε

. Να αποδείξετε ότι $\Displaystyle{cx^2-bx+a > cx-b}$ για κάθε

.

6. Ευθείες, εφαπτόμενες κύκλου $\omega$ στα σημεία

και

, τέμνονται στο σημείο

. Ευθεία διερχόμενη από το

τέμνει τον κύκλο στα σημεία

και

. Από τυχόν σημείο της χορδής

φέρουμε ευθεία παράλληλη προς την

. Να αποδείξετε ότι αυτή χωρίζει το μήκος των τεθλασμένων ABC

και

σε ίσους λόγους.

7. Υπάρχουν άραγε τρεις διαφορετικοί μη μηδενικοί ακέραιοι αριθμοί, το άθροισμα των οποίων ισούται με μηδέν και το άθροισμα των δέκατο τρίτων δυνάμεών τους να είναι τετράγωνο κάποιου φυσικού αριθμού;

8. Ονομάζουμε σκάλα ύψους το σχήμα που προκύπτει από τα κελιά ενός τετραγωνικού πλέγματος $n \times n$ που δε βρίσκονται πάνω από την διαγώνιο (στο σχήμα απεικονίζεται σκάλα ύψους 4). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διαμερίσουμε σκάλα ύψους

σε ορθογώνια διαφορετικού μεταξύ τους εμβαδού, οι πλευρές των οποίων βρίσκονται πάνω στις ευθείες του πλέγματος;

: vmo_2009_10_3round_class10_p8.png (1.53 KiB) Προβλήθηκε 2025 φορές

nickos_m · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη μέρα

1. Εννιά σκιέρ ξεκίνησαν από την αφετηρία με την σειρά και διήλθαν μια απόσταση ο καθένας με την δική του σταθερή ταχύτητα. Είναι δυνατόν κάθε σκιέρ να συμμετείχε σε ακριβώς τέσσερεις προσπεράσεις; (Σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε.)

Αφού ο κάθε σκιέρ συμμετέχει μόνο σε

προσπεράσεις και επειδή οι σκιέρ κινούνται με σταθερή ταχύτητα, τότε σίγουρα τον πρώτο σκιέρ θα τον περάσουν μόνο

άτομα.Επομένως, ο πρώτος σκιέρ θα είναι "πέμπτος".Με την ίδια λογική ο ένατος σκιέρ πρέπει να έχει περάσει μόνο

και να μην τον έχει προσπεράσει κανείς.Άρα και ο ένατος σκιέρ θα είναι "πέμπτος".Δηλαδή, ο πρώτος και ο ένατος σκιέρ θα ολισθαίνουν μαζί.Άτοπο γιατί έχουν σταθερές ταχύτητες και δεν ξεκίνησαν από το ίδιο σημείο.

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: Δεύτερη μέρα

5. Οι μη μηδενικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ax^2 + bx +c > cx}$ για κάθε . Να αποδείξετε ότι $\Displaystyle{cx^2-bx+a > cx-b}$ για κάθε .

Είναι $\displaystyle{a{x^2} + (b - c)x + c > 0}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ , άρα: a>0

και $\displaystyle{{(b - c)^2} < 4ac}$ και αφού οι a,c

είναι μη μηδενικοί, θα είναι και c>0

$\displaystyle{{(b - c)^2} < 4ac \Leftrightarrow {(b + c)^2} - 4bc < 4ac \Leftrightarrow {(b+c)^2} - 4c(a + b) < 0}$

και αφού c>0

, θα είναι $\displaystyle{c{x^2} - (b + c)x + a + b > 0}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in R}$

ealexiou · #4

nickos_m έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη μέρα

1. Εννιά σκιέρ ξεκίνησαν από την αφετηρία με την σειρά και διήλθαν μια απόσταση ο καθένας με την δική του σταθερή ταχύτητα. Είναι δυνατόν κάθε σκιέρ να συμμετείχε σε ακριβώς τέσσερεις προσπεράσεις; (Σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε.)
Αφού ο κάθε σκιέρ συμμετέχει μόνο σε προσπεράσεις και επειδή οι σκιέρ κινούνται με σταθερή ταχύτητα, τότε σίγουρα τον πρώτο σκιέρ θα τον περάσουν μόνο άτομα.Επομένως, ο πρώτος σκιέρ θα είναι "πέμπτος".Με την ίδια λογική ο ένατος σκιέρ πρέπει να έχει περάσει μόνο και να μην τον έχει προσπεράσει κανείς.Άρα και ο ένατος σκιέρ θα είναι "πέμπτος".Δηλαδή, ο πρώτος και ο ένατος σκιέρ θα ολισθαίνουν μαζί.Άτοπο γιατί έχουν σταθερές ταχύτητες και δεν ξεκίνησαν από το ίδιο σημείο.

Ερώτηση : Την περίπτωση ο

ος και ο

ος να τερμάτισαν ταυτόχρονα στην

η θέση, γιατί να την αποκλείσουμε; (Δεν λέει στην εκφώνηση ότι τερμάτισαν με διαφορετική σειρά. Με τον ταυτόχρονο τερματισμό αυτών των δύο σκιέρ δεν έχουμε, νομίζω, προσπέραση και οι σταθερές ταχύτητες των

ου και

ου μπορεί να είναι τέτοιες που να καλύπτεται ακριβώς η διαφορά των αποστάσεων. Μικρή, πολύ μικρή, η πιθανότητα για κάτι τέτοιο, αλλά υπαρκτή).

#5

ealexiou έγραψε:
nickos_m έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη μέρα

1. Εννιά σκιέρ ξεκίνησαν από την αφετηρία με την σειρά και διήλθαν μια απόσταση ο καθένας με την δική του σταθερή ταχύτητα. Είναι δυνατόν κάθε σκιέρ να συμμετείχε σε ακριβώς τέσσερεις προσπεράσεις; (Σε κάθε προσπέραση συμμετέχουν ακριβώς δυο σκιέρ, αυτός που προσπερνάει και αυτός που προσπεράστηκε.)
Αφού ο κάθε σκιέρ συμμετέχει μόνο σε προσπεράσεις και επειδή οι σκιέρ κινούνται με σταθερή ταχύτητα, τότε σίγουρα τον πρώτο σκιέρ θα τον περάσουν μόνο άτομα.Επομένως, ο πρώτος σκιέρ θα είναι "πέμπτος".Με την ίδια λογική ο ένατος σκιέρ πρέπει να έχει περάσει μόνο και να μην τον έχει προσπεράσει κανείς.Άρα και ο ένατος σκιέρ θα είναι "πέμπτος".Δηλαδή, ο πρώτος και ο ένατος σκιέρ θα ολισθαίνουν μαζί.Άτοπο γιατί έχουν σταθερές ταχύτητες και δεν ξεκίνησαν από το ίδιο σημείο.
Ερώτηση : Την περίπτωση ο ος και ο ος να τερμάτισαν ταυτόχρονα στην η θέση, γιατί να την αποκλείσουμε; (Δεν λέει στην εκφώνηση ότι τερμάτισαν με διαφορετική σειρά. Με τον ταυτόχρονο τερματισμό αυτών των δύο σκιέρ δεν έχουμε, νομίζω, προσπέραση και οι σταθερές ταχύτητες των ου και ου μπορεί να είναι τέτοιες που να καλύπτεται ακριβώς η διαφορά των αποστάσεων. Μικρή, πολύ μικρή, η πιθανότητα για κάτι τέτοιο, αλλά υπαρκτή).

Ας δούμε τότε και αυτήν την περίπτωση.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι τερματίζουν ταυτόχρονα στην πέμπτη θέση. Υπάρχουν τέσσερα άτομα που προσπέρασαν τον 1 και τέσσερα άτομα τους οποίους προσπέρασα ο 9. Άρα από τους $2,3,\ldots,8$ υπάρχει τουλάχιστον ένας ο οποίος και προσπέρασε τον 1 αλλά και προσπεράστηκε από τον 9. Αυτό είναι άτοπο αφού πρέπει και να τερμάτισε ψηλότερα από την πέμπτη θέση, αλλά και χαμηλότερα από την πέμπτη θέση.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε:
2. Είναι δυνατόν για κάποιο φυσικό αριθμό k να χωρίσουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως k σε δυο ομάδες και να γράψουμε τους αριθμούς κάθε ομάδας στη σειρά (κολλητά) με κάποια διάταξη ώστε, να προκύψουν δυο ίσοι αριθμοί;

Την λύσαμε εδώ.

Αρχιμήδης 6 · #7

Μέρα δεύτερη

ΆΣΚΗΣΗ

Έχω στο μυαλό μου

μη μηδενικές τιμές a,b

διαφορετικές.

Υπολογίζω την παράσταση

$(a+b)^{13}-a^{13}-b^{13}$ και την βρίσκω ίση με τον αριθμό

συνεπώς

$(a+b)^{13}-a^{13}-b^{13}=d$ άρα

$((d^{2t+1}a+d^{2t+1}b)^{13}-(d^{2t+1}a)^{13}-(d^{2t+1}b)^{13}=(d^{13t+7})^2$

Βρήκα λοιπόν τρόπο να βρίσκω άπειρες λύσεις της μορφής

$(x,y,z)=(d^{2t+1}a+d^{2t+1}b,-d^{2t+1}a,-d^{2t+1}b)$ αφού τότε

x+y+z=0

$x^{13}+y^{13}+z^{13}$ τέλειο τετράγωνο!

KARKAR · #8

Al.Koutsouridis έγραψε:Πρώτη μέρα
3. Στο τρίγωνο φέρουμε τις διχοτόμους και , που

τέμνονται στο σημείο . Η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος

τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα.

Να αποδείξετε, ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.

: soviet.png (23.53 KiB) Προβλήθηκε 1744 φορές

Είναι $MD \perp CN$ , δείτε εδώ . Αλλά $\omega=\phi$ ( λόγω μεσοκαθέτου )

και $\omega=\theta$ ( συμπληρωματικές της $\widehat{NMD}$ ) , άρα ...

#9

Al.Koutsouridis έγραψε:
Δεύτερη μέρα

5. Οι μη μηδενικοί αριθμοί είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle{ax^2 + bx +c > cx}$ για κάθε . Να αποδείξετε ότι $\Displaystyle{cx^2-bx+a > cx-b}$ για κάθε .

Ισχύει

$\displaystyle{ax^2+bx+c>cx~\forall x.}$

Θέτουμε σε αυτήν $\displaystyle{x\to -\frac{1}{x-1}}$ και προκύπτει ότι ισχύει η ζητούμενη για κάθε $\displaystyle{x\ne 1.}$

Μένει να αποδειχθεί ότι ισχύει και για $\displaystyle{x=1,}$ δηλαδή ότι $\displaystyle{a>0.}$ Αυτό όμως προκύπτει από την αρχική, αφού

$\displaystyle{ax^2+(b-c)x+c>0}$ για κάθε $\displaystyle{x.}$

#10

Al.Koutsouridis έγραψε: 4. Τον φυσικό αριθμό τον ονομάζουμε «επιτυχημένο», αν για κάθε φυσικό τέτοιο ώστε, αν ο $\Displaystyle{a^5}$ διαιρείτε με τον $\Displaystyle{b^2}$ τότε και ο $\Displaystyle{a^2}$ διαιρείτε με τον . Να βρείτε το πλήθος των επιτυχημένων φυσικών αριθμών μικρότερων του 2010.

Ας υποθέσουμε ότι $b = p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k}$ ως γινόμενο (διακεκριμένων) πρώτων παραγόντων. Τότε ο

είναι επιτυχημένος αν και μόνο αν:

Για κάθε $1 \leqslant i \leqslant k$ και για κάθε φυσικό

αν $2r_i \leqslant 5s$ τότε $r_i \leqslant 2s$ .

Ισοδύναμα ο

είναι επιτυχημένος αν και μόνο αν για κάθε $1 \leqslant i \leqslant k$ έχουμε $r_i \in \{1,2,3,4,6,8\}$ . [Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι αυτά τα r_i

είναι δεκτά. Π.χ. αν r_i=4

και $2r_i \leqslant 5s$ τότε $s \geqslant 2$ και άρα $2s \geqslant r_i$ . Τα υπόλοιπα r_i

δεν είναι δεκτά. Αν r_i=2k+1

με $k \geqslant 2$ έχουμε αντιπαράδειγμα για s=k

. Αν

με $k \geqslant 5$ έχουμε αντιπαράδειγμα για s=k-1

.]

Για να είναι λοιπόν ένας φυσικός μικρότερος του 2010 αποτυχημένος πρέπει να ισχύει ένα από τα εξής:
- Η μεγαλύτερη δύναμη του 2 που τον διαιρεί είναι μια από τις $2^5,2^7,2^9,2^{10}$ . (Αφού $2^{11} > 2010$ .)
- Η μεγαλύτερη δύναμη του 3 που τον διαιρεί είναι η 3^5

.

Υπάρχουν $\lfloor 2010/32 \rfloor = 62$ πολλαπλάσια του

τα οποία είναι μικρότερα ή ίσα του 2010

. Από αυτά τα

είναι πολλαπλάσια του 2^6

και

είναι πολλαπλάσια του 2^7

. Συνολικά λοιπόν υπάρχουν ακριβώς 62-31+15 = 46

αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του 2010

ώστε η μεγαλύτερη δύναμη του

που τους διαιρεί να είναι μία από τις $2^5,2^7,2^9,2^{10}$ .

Επίσης υπάρχουν

αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του 2010

ώστε η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρούνται με το 3^5

. Επειδή $2^5 \times 3^5 > 2010$ δεν διπλομετρήσαμε κάποιον αριθμό. Συνολικά λοιπόν έχουμε 46+8=54

αποτυχημένους αριθμούς και άρα 2010-54 = 1956

επιτυχημένοι αριθμοί.

Διορθώσεις

1) Αμέλησα να αφαιρέσω τα πολλαπλάσια του 2^8

που δεν είναι πολλαπλάσια του 2^9

. Έχουμε

τέτοια.
2) Αμέλησα να αφαιρέσω τα πολλαπλάσια του 3^6

. Έχουμε

τέτοια.
3) Οι αριθμοί πρέπει να είναι μικρότεροι του 2010

και όχι μικρότεροι ή ίσοι.

Άρα η τελική απάντηση είναι 2009-(54-4-2) = 1961

.

#11

Al.Koutsouridis έγραψε: 8. Ονομάζουμε σκάλα ύψους το σχήμα που προκύπτει από τα κελιά ενός τετραγωνικού πλέγματος $n \times n$ που δε βρίσκονται πάνω από την διαγώνιο (στο σχήμα απεικονίζεται σκάλα ύψους 4). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διαμερίσουμε σκάλα ύψους σε ορθογώνια διαφορετικού μεταξύ τους εμβαδού, οι πλευρές των οποίων βρίσκονται πάνω στις ευθείες του πλέγματος;

Απορώ πως καταφέρνουν οι Ρώσοι να κατασκευάζουν τέτοια όμορφα προβλήματα.

Το κλειδί είναι η εξής προφανής παρατήρηση:

«Κάθε ένα από τα τετραγωνάκια της κυρίας διαγωνίου ανήκει σε διαφορετικό ορθογώνιο»

Άρα έχουμε τουλάχιστον

ορθογώνια. Έστω με εμβαδά $E_1 \leqslant \cdots \leqslant E_n$ . Αφού τα εμβαδά είναι διαφορετικοί φυσικοί πρέπει $E_i \geqslant i$ για κάθε

. Όμως το συνολικό εμβαδόν τον τετραγώνων ισούται με $1+2+\cdots +n$ οπότε E_i = i

για κάθε

.

Άρα αυτά τα

ορθογώνια πρέπει να καλύπτουν πλήρως την σκάλα. Οπότε το κάτω αριστερά τετραγωνάκι ανήκει σε ένα από αυτά τα ορθογώνια. Το μόνο όμως που μπορεί να το περιέχει είναι είτε η πρώτη κάθετη στήλη είτε η τελευταία οριζόντια σειρά.

Αν αφαιρέσουμε οποιοδήποτε από αυτά τα δύο ορθογώνια μας μένει μια σκάλα ύψους n-1

. Είναι τώρα απλό επαγωγικά να δούμε ότι υπάρχουν $2^{n-1}$ τρόποι να διαμερίσουμε την σκάλα.

#12

Demetres έγραψε: ...
Απορώ πως καταφέρνουν οι Ρώσοι να κατασκευάζουν τέτοια όμορφα προβλήματα.
...

Πραγματικά... Είναι μαγευτικά και πανέξυπνα αυτά τα προβλήματα!

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξη)

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2009/10 (ΙΙΙΦάση 10η τάξ

Μέλη σε σύνδεση