Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)
XLII Πανρωσική Σχολική Μαθηματική Ολυμπιάδα
IV Φάση (τελική) 21-29 Απριλίου 2016, Αγ.Πετρούπολη.
Πρώτη μέρα
1. Ένας αργυραμοιβός (σαράφης) έχει στην λαϊκή πολλά χαλιά. Ο οποίος προτίθεται να ανταλλάξει ένα χαλί διαστάσεων είτε με ένα χαλί διαστάσεων είτε με δυο διαστάσεων και ( σε κάθε τέτοια ανταλλαγή ο ίδιος ο πελάτης μπορεί να διαλέξει τον αριθμό ). Ο πλανόδιος αργυραμοιβός διηγήθηκε, ότι αρχικά είχε ένα χαλί, οι διαστάσεις του οποίου υπέρβαιναν το 1 και μετά από κάποιες τέτοιου είδους ανταλλαγές του προέκυψε ένα σύνολο χαλιών, το καθένα εκ των οποίων η μια πλευρά του ήταν μεγαλύτερη του 1 και η άλλη μικρότερη του 1. Εξαπατά άραγε; (με αίτημα του πελάτη ο αργυραμοιβός είναι διατεθειμένος να θεωρήσει το χαλί διαστάσεων ως διαστάσεων .)
2. Κύκλος εφάπτεται των πλευρών της γωνίας στα σημεία και . Ευθεία τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματα και στα σημεία και αντίστοιχα. Ο κύκλος τέμνει την ευθεία στα σημεία και . Τα σημεία και του ευθύγραμμου τμήματος διαλέγονται έτσι ώστε και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.
3. Ο Αλέξανδρος διάλεξε ένα φυσικό αριθμό και έγραψε σε μια γραμμή κατά αύξουσα σειρά όλους τους φυσικούς διαιρέτες του, (το και ). Στη συνέχεια για κάθε γειτονικό ζεύγος αριθμών υπολόγισε τον μέγιστο κοινό διαρέτη τους. Το άθροισμα των αποτελεσμάτων προέκυψε ίσο με . Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο ;
4. Από τετραγωνισμένο φύλλο χαρτιού διαστάσεων αποκόψαμε, στο σύνορο των κελιών, 1950 ορθογώνια των δυο κελιών. Να αποδείξετε, ότι από τα εναπομείναντα κομμάτια, κατά το σύνορο των κελιών, μπορούμε να αποκόψουμε σχήμα της μορφής , πιθανόν και κάποια περιστροφή του. (Αν τέτοιο σχήμα ήδη υπάρχει μεταξύ των αποκομμένων κομματιών, θεωρούμε ότι ήταν δυνατή μια τέτοια αποκοπή.)
Δεύτερη μέρα
5. Από τα ψηφία σχηματίζονται εννιά (όχι απαραίτητα διαφορετικοί) εννιαψήφιοι αριθμοί. Σε κάθε αριθμό κάθε ψηφίο χρησιμοποιείτε μια φορά. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μηδενικών που μπορεί να λήγει το άθροισμά τους;
6. Ένα τετράγωνο διαμερίζετε σε ορθογώνια με ευθείες, από τις οποίες οι είναι παράλληλες στη μια πλευρά του τετραγώνου και οι υπόλοιπες στην άλλη πλευρά. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε ορθογώνια της διαμέρισης με τέτοιο τρόπο, ώστε για οποιοδήποτε δυο ορθογώνια εξ αυτών μπορούμε να τοποθετήσουμε το ένα μέσα στο άλλο (πιθανόν με κατάλληλη περιστροφή).
7. Κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο , με . Παρεγγεγραμμένος κύκλος αυτού του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς στο σημείο . Σημείο επιλέγεται στο ευθύγραμμο τμήμα έτσι, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα να μην τέμνει τον . Οι εφαπτομένες που άγονται από το σημείο προς τον , τέμνουν το ευθύγραμμο τμήμα στα σημεία και . Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου .
8. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να αποδείξετε την ανισότητα
.
IV Φάση (τελική) 21-29 Απριλίου 2016, Αγ.Πετρούπολη.
Πρώτη μέρα
1. Ένας αργυραμοιβός (σαράφης) έχει στην λαϊκή πολλά χαλιά. Ο οποίος προτίθεται να ανταλλάξει ένα χαλί διαστάσεων είτε με ένα χαλί διαστάσεων είτε με δυο διαστάσεων και ( σε κάθε τέτοια ανταλλαγή ο ίδιος ο πελάτης μπορεί να διαλέξει τον αριθμό ). Ο πλανόδιος αργυραμοιβός διηγήθηκε, ότι αρχικά είχε ένα χαλί, οι διαστάσεις του οποίου υπέρβαιναν το 1 και μετά από κάποιες τέτοιου είδους ανταλλαγές του προέκυψε ένα σύνολο χαλιών, το καθένα εκ των οποίων η μια πλευρά του ήταν μεγαλύτερη του 1 και η άλλη μικρότερη του 1. Εξαπατά άραγε; (με αίτημα του πελάτη ο αργυραμοιβός είναι διατεθειμένος να θεωρήσει το χαλί διαστάσεων ως διαστάσεων .)
2. Κύκλος εφάπτεται των πλευρών της γωνίας στα σημεία και . Ευθεία τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματα και στα σημεία και αντίστοιχα. Ο κύκλος τέμνει την ευθεία στα σημεία και . Τα σημεία και του ευθύγραμμου τμήματος διαλέγονται έτσι ώστε και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.
3. Ο Αλέξανδρος διάλεξε ένα φυσικό αριθμό και έγραψε σε μια γραμμή κατά αύξουσα σειρά όλους τους φυσικούς διαιρέτες του, (το και ). Στη συνέχεια για κάθε γειτονικό ζεύγος αριθμών υπολόγισε τον μέγιστο κοινό διαρέτη τους. Το άθροισμα των αποτελεσμάτων προέκυψε ίσο με . Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο ;
4. Από τετραγωνισμένο φύλλο χαρτιού διαστάσεων αποκόψαμε, στο σύνορο των κελιών, 1950 ορθογώνια των δυο κελιών. Να αποδείξετε, ότι από τα εναπομείναντα κομμάτια, κατά το σύνορο των κελιών, μπορούμε να αποκόψουμε σχήμα της μορφής , πιθανόν και κάποια περιστροφή του. (Αν τέτοιο σχήμα ήδη υπάρχει μεταξύ των αποκομμένων κομματιών, θεωρούμε ότι ήταν δυνατή μια τέτοια αποκοπή.)
Δεύτερη μέρα
5. Από τα ψηφία σχηματίζονται εννιά (όχι απαραίτητα διαφορετικοί) εννιαψήφιοι αριθμοί. Σε κάθε αριθμό κάθε ψηφίο χρησιμοποιείτε μια φορά. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μηδενικών που μπορεί να λήγει το άθροισμά τους;
6. Ένα τετράγωνο διαμερίζετε σε ορθογώνια με ευθείες, από τις οποίες οι είναι παράλληλες στη μια πλευρά του τετραγώνου και οι υπόλοιπες στην άλλη πλευρά. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε ορθογώνια της διαμέρισης με τέτοιο τρόπο, ώστε για οποιοδήποτε δυο ορθογώνια εξ αυτών μπορούμε να τοποθετήσουμε το ένα μέσα στο άλλο (πιθανόν με κατάλληλη περιστροφή).
7. Κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε τρίγωνο , με . Παρεγγεγραμμένος κύκλος αυτού του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς στο σημείο . Σημείο επιλέγεται στο ευθύγραμμο τμήμα έτσι, ώστε το ευθύγραμμο τμήμα να μην τέμνει τον . Οι εφαπτομένες που άγονται από το σημείο προς τον , τέμνουν το ευθύγραμμο τμήμα στα σημεία και . Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου .
8. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να αποδείξετε την ανισότητα
.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τρί Φεβ 01, 2022 12:42 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)
Έστω Είναι:Al.Koutsouridis έγραψε:
2. Κύκλος εφάπτεται των πλευρών της γωνίας στα σημεία και . Ευθεία τέμνει τα ευθύγραμμα τμήματα και στα σημεία και αντίστοιχα. Ο κύκλος τέμνει την ευθεία στα σημεία και . Τα σημεία και του ευθύγραμμου τμήματος διαλέγονται έτσι ώστε και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.
και
οπότε .
Επειδή τα σημεία είναι ομοκυκλικά, έχουμε: .
Από τις σχέσεις και προκύπτει ότι και άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)
Απαιτητική αυτή (ειδικά γι' αυτή την τάξη). Ξέρουμε πόσοι την έλυσαν και ποια είναι η επίσημη λύση;Al.Koutsouridis έγραψε: 8. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να αποδείξετε την ανισότητα
.
Η ανισότητα είναι ισοδύναμη με
Λόγω συμμετρίας έστω
Η τελευταία είναι τριώνυμο ως προς με θετικό συντελεστή, οπότε παίρνει μέγιστο στα άκρα δηλαδή όταν ή ή
Το ίδιο συμβαίνει λόγω συμμετρίας και για τα οπότε αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα στις παρακάτω περιπτώσεις:
α) c=d=0, όπου τότε όμως η ανισότητα είναι προφανής.
β) a=b, d=0, τότε η ανισότητα είναι ισοδύναμη με που γράφεται που ισχύει αφού από τη σχέση
παίρνουμε ότι
γ) a=b, c=d, τότε η ανισότητα είναι ισοδύναμη με όταν
Από ΑΜ-GM έχουμε:
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)
Μια άλλη προσέγγιση:Al.Koutsouridis έγραψε: 8. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να αποδείξετε την ανισότητα
.
Όπως λέει και ο Σιλουανός παραπάνω, η αποδεικτέα ανισότητα γράφεται ισοδύναμα
και μπορούμε, δίχως βλάβη της γενικότητας, να υποθέσουμε ότι Είναι:
και το συμπέρασμα έπεται.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)
Έτσι ήταν η άλλη λύση που είχα στο νου μου, αλλά με το παρακάτω σκεπτικό:emouroukos έγραψε:
Αφού βλέπουμε στην ισοδύναμη μορφή ότι η ισότητα ισχύει όταν ο ένας είναι ίσος με μηδέν, σκεφτόμαστε να κάνουμε mixing variables ως εξής:
που είναι ακριβώς αυτή που γράφει ο Βαγγέλης παραπάνω
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)
Καλησπέρα και χρόνια πολλά!smar έγραψε:Απαιτητική αυτή (ειδικά γι' αυτή την τάξη). Ξέρουμε πόσοι την έλυσαν και ποια είναι η επίσημη λύση;Al.Koutsouridis έγραψε: 8. Το άθροισμα των θετικών αριθμών και είναι ίσο με . Να αποδείξετε την ανισότητα
.
Το έλυσαν 4 από τους 139 συμμετέχοντες της 9ης τάξης και ήταν το θέμα που τους δυσκόλεψε πιο πολύ. Η επίσημη λύση είναι παρόμοια με του Βαγγέλη Μουρούκου παραπάνω.
-
- Δημοσιεύσεις: 11
- Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 21, 2015 5:21 pm
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)
Μπορεί κάποιος να αναρτήσει τα θέματα της 8ης τάξης του ίδιου διαγωνισμού ?
τελευταία επεξεργασία από Αλέξανδρος.Θ σε Πέμ Μάιος 05, 2016 3:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2015/16 (IVΦ 9η τάξη)
Ονομάζω ένα χαλί σπουδαίο αν είτε και οι δύο διαστάσεις του είναι μεγαλύτερες του είτε και οι δύο είναι μικρότερες του . Ισχυρίζομαι ότι ο αργυραμοιβός έχει πάντα ένα σπουδαίο χαλί, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με τα λεγόμενά του.Al.Koutsouridis έγραψε:
1. Ένας αργυραμοιβός (σαράφης) έχει στην λαϊκή πολλά χαλιά. Ο οποίος προτίθεται να ανταλλάξει ένα χαλί διαστάσεων είτε με ένα χαλί διαστάσεων είτε με δυο διαστάσεων και ( σε κάθε τέτοια ανταλλαγή ο ίδιος ο πελάτης μπορεί να διαλέξει τον αριθμό ). Ο πλανόδιος αργυραμοιβός διηγήθηκε, ότι αρχικά είχε ένα χαλί, οι διαστάσεις του οποίου υπέρβαιναν το 1 και μετά από κάποιες τέτοιου είδους ανταλλαγές του προέκυψε ένα σύνολο χαλιών, το καθένα εκ των οποίων η μια πλευρά του ήταν μεγαλύτερη του 1 και η άλλη μικρότερη του 1. Εξαπατά άραγε; (με αίτημα του πελάτη ο αργυραμοιβός είναι διατεθειμένος να θεωρήσει το χαλί διαστάσεων ως διαστάσεων .)
Πράγματι αν το χαλί είναι σπουδαίο επειδή τότε είτε θα το ανταλλάξει με το που είναι σπουδαίο αφού είτε θα το ανταλλάξει με τα και . Αν τότε και άρα το είναι σπουδαίο. Αν τότε και άρα το είναι σπουδαίο.
Παρόμοιο επιχείρημα δουλεύει και αν .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες