Τεστ Εξάσκησης #1- ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΚΡΩΝ

#1

Καλησπέρα σας!

Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων για τους "Μεγάλους", ακολουθεί ένα 1ο τεστ για τους "Μικρούς":

**********************************************

Practice TEST ΜΙΚΡΩΝ #1
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 3,5 ΩΡΕΣ

ΘΕΜΑ 1. Δίνονται θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b,c

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \max\{a^2-b,b^2-c,c^2-a\}\geq \max\{a^2-a,b^2-b,c^2-c\} }$

Εδώ το $\max\{x,y,z\}$ συμβολίζει τον μεγαλύτερο αριθμό του συνόλου $\{x,y,z\}$ .

ΘΕΜΑ 2. Σε τρίγωνο ABC

είναι $\angle B=60^\circ}$ . Τα ύψη

και

του τριγώνου ABC

τέμνονται σε ένα σημείο

. Να δειχθεί ότι το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου ABC

βρίσκεται στην κοινή διχοτόμο των γωνιών $\angle AKE$ και $\angle CKD.$

ΘΕΜΑ 3. Δίνεται θετικός ακέραιος

. Να δειχθεί ότι υπάρχουν μοναδικοί θετικοί ακέραιοι

και

τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{ x+\dfrac{1}{2}(x+y-1)(x+y-2)=A. }$

ΘΕΜΑ 4. Ένα $2017 \times 2017$ τετράγωνο κόβεται σε σχήματα των παρακάτω τριών τύπων:

: archimedes_practice_neon_1_2017.png (4.7 KiB) Προβλήθηκε 1816 φορές

Να δειχθεί ότι ανάμεσα σε αυτά τα σχήματα υπάρχουν τουλάχιστον 4035

σχήματα τύπου (1).

**********************************************

Φιλικά,

Αχιλλέας

KARKAR · #2

Δεν είμαι βέβαιος αν πράττω νόμιμα , αλλά ας δώσω μια υπόδειξη για το γεωμετρικό θέμα :

: SYNEF.png (20.23 KiB) Προβλήθηκε 1776 φορές

Αξιοποιήστε το ότι το AKOC

είναι εγγράψιμο , δείχνοντας την ισότητα των $\widehat{DAO} , \widehat{KCO}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

achilleas έγραψε:Καλησπέρα σας!

ΘΕΜΑ 2. Σε τρίγωνο είναι $\angle B=60^\circ}$ . Τα ύψη και του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο . Να δειχθεί ότι το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου βρίσκεται στην κοινή διχοτόμο των γωνιών $\angle AKE$ και $\angle CKD.$

Ξέρουμε πως $\widehat{DKC}=60^o$ επειδή το BDKE

είναι εγγράψιμο. Αρκεί να αποδείξουμε πως $\widehat{OKC}=30^o$ .

Παρατηρούμε πως επειδή $\widehat{AOC}=2\widehat{ABC}=120^o$ και $\widehat{AKC}=180^o-\widehat{DKC}=120^o$ , το AKOC

είναι εγγράψιμο.

Τέλος, $\widehat{OAC}=30^o$ , επειδή το OAC

είναι ισοσκελές, άρα από το εγγράψιμο AKOC

έχουμε πως $\widehat{OKC}=\widehat{OAC}=30^ο$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 4. Ένα $2017 \times 2017$ τετράγωνο κόβεται σε σχήματα των παρακάτω τριών τύπων:
archimedes_practice_neon_1_2017.png

Να δειχθεί ότι ανάμεσα σε αυτά τα σχήματα υπάρχουν τουλάχιστον σχήματα τύπου (1).

Χρωματίζουμε μαύρα τα κελιά που βρίσκονται στα σημεία που διασταυρώνονται οι περιττές γραμμές και οι περιττές στήλες και άσπρα όλα τα υπόλοιπα, όπως φαίνεται και στην εικόνα.

Έχουμε δηλαδή 1009^2

μαύρα κελιά και 2017^2-1009^2

άσπρα κελιά.

Τα σχήματα τύπου (1) καταλαμβάνουν είτε

μαύρο και

άσπρα είτε

άσπρα. Έστω πως το πλήθος των σχημάτων της πρώτης περίπτωσης που χρησιμοποιούμε είναι x_1

και της δεύτερης είναι x_2

.

Προφανώς το πλήθος όλων των σχημάτων τύπου (1) είναι x_1+x_2

. Θέλουμε δηλαδή να αποδείξουμε πως $x_1+x_2\geq 4035$

Παρατηρούμε πως τα σχήματα τύπου (2) και (3) καταλαμβάνουν πάντα

μαύρο και

άσπρα. Έστω πως το πλήθος των σχημάτων του τύπου (2) που χρησιμοποιούμε είναι

και του (3) είναι

.

Παρατηρούμε πως το πλήθος των μαύρων, έστω

, είναι

και των άσπρων, έστω

, είναι

.

Άρα,

Επομένως $x_1-3x_2=3M-A=3\cdot 1009^2-2017^2+1009^2$ $=4\cdot 1009^2-2017^2=2018^2-2017^2=4035$ .

Όμως $x_1+x_2\geq x_1-3x_2=4035$ . Άρα ο ισχυρισμός ισχύει.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

achilleas έγραψε:
ΘΕΜΑ 1. Δίνονται θετικοί πραγματικοί αριθμοί . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \max\{a^2-b,b^2-c,c^2-a\}\geq \max\{a^2-a,b^2-b,c^2-c\} }$

Εδώ το $\max\{x,y,z\}$ συμβολίζει τον μεγαλύτερο αριθμό του συνόλου $\{x,y,z\}$ .

Επειδή η ανισότητα είναι κυκλική, υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας πως $\max\{a^2-a,b^2-b,c^2-c\}=a^2-a$ .

Έστω πως το ζητούμενο δεν ίσχυε. Τότε:

$a^2-a\geq a^2-b$ (1)

$a^2-a\geq b^2-c$ (2)

$a^2-a\geq c^2-a$ (3)

Από τη σχέση (1) παίρνουμε ότι $b\geq a$

Από τη σχέση (3) παίρνουμε ότι $a\geq c$

Από τη σχέση (2) παίρνουμε πως $a^2-b^2\geq a-c$ , άτοπο, καθώς το αριστερό μέλος είναι αρνητικό, ενώ το δεξί θετικό.

Χάνω κάτι λόγω της ώρας;

Τεστ Εξάσκησης #1- ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΚΡΩΝ

Τεστ Εξάσκησης #1- ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΚΡΩΝ

Re: Τεστ Εξάσκησης #1- ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΚΡΩΝ

Re: Τεστ Εξάσκησης #1- ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΚΡΩΝ

Re: Τεστ Εξάσκησης #1- ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΚΡΩΝ

Re: Τεστ Εξάσκησης #1- ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΚΡΩΝ

Μέλη σε σύνδεση