Αρχιμήδης 2017

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4135
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #61 από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Μαρ 05, 2017 8:07 pm

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που διαγωνίστηκαν στον "ΑΡΧΙΜΗΔΗ" και καλή συνέχεια στους επιτυχόντες.

Ειδικά, θέλω να εκφράσω τα συγχαρητήρια στα ταλαντούχα μέλη μας :

Ορέστη Λιγνό, Ραφαήλ Ψυρρούκη, Τσιντσιλίδα Δημήτρη , Αδαμόπουλο Διονύση και Σημαντήρη Γιάννη



Λέξεις Κλειδιά:
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #62 από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Μαρ 05, 2017 8:50 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Καλησπέρα μέλη του Mathematica, είμαι ο Κατερινόπουλος Νικόλας, μαθητής της έκτης Δημοτικού και είμαι καινούριο μέλος!!!


Καλωσόρισες Νικόλα !

Εδώ θα έχεις μια ζεστή παρέα και ανθρώπους για να απαντήσουν σε κάθε σου μαθηματική ή άλλη ερώτηση.Καλή πρόοδο !!!

Μπ


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 596
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #63 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Μαρ 05, 2017 9:46 pm

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Στεργίου!!!


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 497
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #64 από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Μαρ 05, 2017 10:09 pm

Ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια! :)

Εκτός από τους μαθητές-μέλη του :logo: που αναφέρατε, συγχαρητήρια αξίζουν ο JimNT και ο Χάρης Τιούρινγκ που βρέθηκαν κι αυτοί στις πρώτες θέσεις, αλλά και όλοι οι μαθητές που συμμετείχαν, είτε βραβεύθηκαν είτε όχι, για τη μεγάλη τους αγάπη, τα μαθηματικά.

Όλοι εμείς ευχαριστούμε το :logo: που μας βοηθάει καθημερινά σε αυτήν την προσπάθειά μας. :clap2:


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #65 από gbaloglou » Κυρ Μαρ 05, 2017 10:38 pm

Συγχαρητήρια σε όλους, είτε για τα αποτελέσματα είτε για την μακρόχρονη και δημιουργική προσπάθεια!

[Για το τέταρτο των μεγάλων: σεμιναριακή η παρουσίαση της λύσης και κεντρικής ιδέας από τον Νίκο Αθανασίου, καθώς δείχνει το πως μπορεί να φτάσει κανείς "εκ του μερικού εις το γενικόν", και πόσο βοηθά η μελέτη ειδικών περιπτώσεων στην σύλληψη της στρατηγικής που επιλύει την γενική περίπτωση^ ευχαριστίες επίσης στον Αχιλλέα για την παρέμβαση του! (Είναι ενδιαφέρον ότι το ελάχιστο P(1) φαίνεται να αντιστοιχεί στον μέγιστο βαθμό πολυωνύμου (με θετικούς ακέραιους συντελεστές) P(x) τέτοιου ώστε P(\xi)=2017 (όπου \xi η θετική ρίζα της x^2+x-4=0)^ μου ήταν φανερό ότι ο βαθμός αυτός θα ήταν μικρότερος του 20 ... λόγω της \xi^{20}>(3/2)^{20}>2017 ... αλλά δεν βρήκα χρόνο να δω παραπάνω το πρόβλημα πριν ανεβεί η λύση του Νίκου ... πάντως το 14 φαίνεται λογικό για μέγιστο βαθμό.)]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1069
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #66 από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μαρ 05, 2017 11:18 pm

Σας ευχαριστώ όλους εδώ στο :logo: για τα καλά σας λόγια!

Θα ήθελα, με την ευκαιρία αυτή, να παροτρύνω και άλλους μαθητές που είναι μέλη του mathematica, να συμμετέχουν ενεργά και όχι να είναι απλά θεατές, φοβούμενοι μήπως κάνουν λάθος.

Μέσα από τα λάθη όλοι μαθαίνουμε! Για αυτό λοιπόν, μην διστάζουν να λένε την γνώμη τους και τις απορίες τους και να ζητούν βοήθεια!

Δόξα τω Θεό, στο :logo: υπάρχουν καταπληκτικοί δάσκαλοι που μας καθοδηγούν και μας συμβουλεύουν.

Ορέστης


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3723
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #67 από cretanman » Τρί Μαρ 07, 2017 1:55 am

Παιδιά σας αξίζουν συγχαρητήρια...

Θερμές ευχές σε όλους τους μαθητές που συμμετείχαν, στους γονείς τους που τους υποστήριξαν στους δασκάλους τους που με οποιοδήποτε τρόπο τους προετοίμασαν και σ' εκείνους που διακρίθηκαν! Χαίρομαι ιδιαίτερα που αρκετοί από τους συμμετέχοντες αλλά και από τους βραβευθέντες είναι μέλη μας, μέλη του :logo: και αναγνωρίζουν την προσφορά του στη μαθηματική παιδεία τους. Είναι η ηθική ανταμοιβή όσων ασχολούνται με αυτό το χώρο λύνοντας, προτείνοντας και αναρτώντας προτάσεις σε όμορφα προβλήματα, προβληματισμούς και γενικότερα θέματα γύρω από τη μαθηματική παιδεία.

Καλή επιτυχία στην επόμενη φάση του διαγωνισμού! Δε θα μπορούσα παρά να συμφωνώ με το μήνυμα του Αχιλλέα εδώ!

Εύχομαι να σας καμαρώνουμε για πολλά πολλά χρόνια ακόμη όχι μόνο εδώ στο mathematica αλλά και στην κοινωνία αργότερα! Μπράβο σας!!

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #68 από dement » Τρί Μαρ 07, 2017 4:26 pm

Θα ήθελα γνώμες γύρω από το υποερώτημα 4.ii. του Αρχιμήδη των μεγάλων: Πώς μπορούμε να ξέρουμε αν το ερώτημα εννοεί ελαχιστοποίηση για δεδομένο n (δηλαδή, συναρτήσει του n) ή ολική ελαχιστοποίηση (για όλα τα n); Υπάρχει κάτι στη διατύπωση που το κάνει ξεκάθαρο;


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2471
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #69 από achilleas » Τρί Μαρ 07, 2017 6:51 pm

dement έγραψε:Θα ήθελα γνώμες γύρω από το υποερώτημα 4.ii. του Αρχιμήδη των μεγάλων: Πώς μπορούμε να ξέρουμε αν το ερώτημα εννοεί ελαχιστοποίηση για δεδομένο n (δηλαδή, συναρτήσει του n) ή ολική ελαχιστοποίηση (για όλα τα n); Υπάρχει κάτι στη διατύπωση που το κάνει ξεκάθαρο;


Καλή ερώτηση!

Προσωπικά υπέθεσα ότι ζητούσε το δεύτερο, στο οποίο φτάνει κανείς εξετάζοντας διαδοχικά τις περιπτώσεις n=0,1,\dots,13 κοκ. Για n\geq 14 η απάντηση δεν αλλάζει.

Δηλ. όπως και να έχει η διατύπωση, η λύση αλλάζει ελάχιστα.

Στην 1η περίπτωση, απλά κάποιος θα πρέπει να γράψει στην απάντηση και τις διάφορες τιμές του P(1) για 1\leq n\leq 13.

Ίσως θα έπρεπε να διατυπωθεί πιο ξεκάθαρα(?)

Αναμένουμε και τις επίσημες λύσεις.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #70 από gbaloglou » Τετ Μαρ 08, 2017 1:40 pm

achilleas έγραψε:
dement έγραψε:Θα ήθελα γνώμες γύρω από το υποερώτημα 4.ii. του Αρχιμήδη των μεγάλων: Πώς μπορούμε να ξέρουμε αν το ερώτημα εννοεί ελαχιστοποίηση για δεδομένο n (δηλαδή, συναρτήσει του n) ή ολική ελαχιστοποίηση (για όλα τα n); Υπάρχει κάτι στη διατύπωση που το κάνει ξεκάθαρο;


Καλή ερώτηση!

Προσωπικά υπέθεσα ότι ζητούσε το δεύτερο, στο οποίο φτάνει κανείς εξετάζοντας διαδοχικά τις περιπτώσεις n=0,1,\dots,13 κοκ. Για n\geq 14 η απάντηση δεν αλλάζει.


Οι κατασκευαστικές λύσεις που δόθηκαν είναι και καταστροφικές, δείχνουν δηλαδή ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο βαθμού μεγαλύτερου του 14 με τις ζητούμενες ιδιότητες.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1117
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #71 από silouan » Τετ Μαρ 08, 2017 9:16 pm

Σκιαγραφώ εδώ και την επίσημη λύση:

Βήμα 1) Θεωρούμε το ελαχιστικό σύνολο \{a_0,...,a_n\}. Τότε 0\leq a_i\leq 3 γιατί αλλιώς το σύνολο
\{a_0,...,a_{i-1}, a_i-4, a_{i+1}+1,a_{i+2}+1,...,a_n\} έχει μικρότερο άθροισμα.

Βήμα 2) Γράφουμε a_nx^n+...+a_0-2017=(x^2+x-4)(b_{n-2}x^{n-2}+...+b_1x+b_0) και από την εξίσωση των συντελεστών έχουμε ότι
a_{i+2}-b_{i+1}-b_i=-4b_{i+2} για 0\leq i\leq n-2.

Βήμα 3) Λόγω του 0\leq a_i\leq 3 το παραπάνω σύστημα έχει μοναδική λύση ως προς τα a_i παίρνοντας \mod 4.

Υ.Γ. Θα είχε ενδιαφέρον μετά το Βήμα 1 να έχουμε λύση από το τετραδικό σύστημα αρίθμησης.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3723
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #72 από cretanman » Πέμ Μαρ 09, 2017 1:15 am

Για το 3ο πρόβλημα των μικρών μία εναλλακτική λύση:

Έστω (a,b)=d τότε a=da_1, \ b=db_1 με (a_1,b_1)=1. Αντικαθιστώντας παίρνουμε p(a_1^2+b_1^2)=d^2a_1^2b_1^2 απ' όπου p|d^2a_1^2b_1^2 κι έτσι έχουμε τις εξής τρεις περιπτώσεις:

α) Αν p|a_1^2 τότε p|a_1 οπότε a_1=pa_2 κι έτσι αντικαθιστώντας παίρνουμε p^2a_2^2+b_1^2=d^2pa_2^2b_1^2 απ' όπου p|b_1^2 δηλαδή p|b_1, άτοπο διότι (a_1,b_1)=1.

β) Όμοια αν p|b_1^2 καταλήγουμε σε άτοπο.

γ) Αν p|d^2 τότε p|d, άρα d=pd_1 και αντικαθιστώντας παίρνουμε a_1^2+b_1^2=pd_1^2a_1^2b_1^2 δηλαδή a_1^2|b_1^2. Όμως (a_1,b_1)=1 άρα πρέπει a_1=1 και όμοια b_1=1 κι έτσι p=2.

Τελικά (a,b,p)=(2,2,2).

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1117
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #73 από silouan » Δευ Μαρ 13, 2017 4:57 pm

Αναρτήθηκαν και οι επίσημες λύσεις:
http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... _final.pdf


Σιλουανός Μπραζιτίκος
christodoulos703
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τετ Αύγ 03, 2016 1:57 pm

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #74 από christodoulos703 » Παρ Απρ 07, 2017 4:14 pm

Έχει κανείς το σχεδιάγραμμα βαθμολόγησης;Γιατί έγραψα τα θέματα 1,2,3 (αλλά κατά λάθος έγραψα (a,b,p)=(4,4,2) και όχι (a,b,p)=(2,2,2) καθώς μπερδεύτηκα με τα τετράγωνα αλλά η διαδικασία ήταν ολόσωστη) και παρ' όλα αυτά πήρα 11/20.Θα μπορούσε κάποιος να μου εξηγήσει τι μπορεί να έκανα λάθος;Ευχαριστώ εκ των προτέρων.


Χατζηγρηγοριάδης Χριστόδουλος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5759
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #75 από socrates » Δευ Απρ 10, 2017 1:30 am

Το πρόβλημα 4 των μικρών υπάρχει (σχεδόν...) εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1201896

Ένα παρόμοιο με το πρόβλημα 3 των μεγάλων είδαμε εδώ:
search.php?keywords=1315&t=15584&sf=msgonly


Θανάσης Κοντογεώργης
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1117
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Αρχιμήδης 2017

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #76 από silouan » Δευ Απρ 10, 2017 12:34 pm

socrates έγραψε:Το πρόβλημα 4 των μικρών υπάρχει (σχεδόν...) εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1201896

Ένα παρόμοιο με το πρόβλημα 3 των μεγάλων είδαμε εδώ:
search.php?keywords=1315&t=15584&sf=msgonly


Η ιδέα για το 4 είναι το προβολικό επίπεδο, οπότε είναι πιθανή αυτή η ομοιότητα.

Στο 3 χρειάζεσαι την ίδια ταυτότητα όντως. Την ταυτότητα αυτή την είχα δει πρώτη φορά σαν μαθητής.
Από εκεί και πέρα (ευτυχώς) παίρνουν άλλο δρόμο.


Σιλουανός Μπραζιτίκος

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες