Ελάχιστη τιμή παράστασης

M.S.Vovos · #1

Έστω οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x,y,z

τέτοιοι ώστε xyz=1

. Να εξετάσετε αν η παρακάτω παράσταση

παρουσιάζει ελάχιστη τιμή και αν ναι να την προσδιορίσετε:
$\displaystyle{f=\frac{x^{2}\sqrt{\displaystyle \frac{z}{xy^{4}+y^{3}z^{2}}}+y^{2}\sqrt{\displaystyle \frac{x}{yz^{4}+z^{3}x^{2}}}+z^{2}\sqrt{\displaystyle \frac{y}{zx^{4}+x^{3}y^{2}}}}{x^{2}z+y^{2}x+z^{2}y}}$ Φιλικά,
Μάριος

harrisp · #2

Κύριε Μάριε αν μπορείτε να γράψετε και το επίπεδο της άσκησης.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

M.S.Vovos · #3

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Κύριε Μάριε αν μπορείτε να γράψετε και το επίπεδο της άσκησης.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Γεια σου Χάρη!

Νομίζω ότι το επίπεδο είναι για Seniors (ίσως προχωρημένο επίπεδο...). Δεν είμαι και απόλυτα σίγουρος.

Φιλικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Επειδή την έλυσα νομίζω ότι για τους μικρούς μας(στο μάτι και την ηλικία μόνο είναι μικροί)
είναι μια χαψιά.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #5

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μία κατασκευή.
Έστω οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να εξετάσετε αν η παρακάτω παράσταση παρουσιάζει ελάχιστη τιμή και αν ναι να την προσδιορίσετε:
$\displaystyle{f=\frac{x^{2}\sqrt{\displaystyle \frac{z}{xy^{4}+y^{3}z^{2}}}+y^{2}\sqrt{\displaystyle \frac{x}{yz^{4}+z^{3}x^{2}}}+z^{2}\sqrt{\displaystyle \frac{y}{zx^{4}+x^{3}y^{2}}}}{x^{2}z+y^{2}x+z^{2}y}}$ Φιλικά,
Μάριος

Θα αποδείξουμε πως:

$\displaystyle{\frac{x^{2}\sqrt{\displaystyle \frac{z}{xy^{4}+y^{3}z^{2}}}+y^{2}\sqrt{\displaystyle \frac{x}{yz^{4}+z^{3}x^{2}}}+z^{2}\sqrt{\displaystyle \frac{y}{zx^{4}+x^{3}y^{2}}}}{x^{2}z+y^{2}x+z^{2}y}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow x^{2}\sqrt{\dfrac{z}{xy^{4}+y^{3}z^{2}}}+y^{2}\sqrt{\dfrac{x}{yz^{4}+z^{3}x^{2}}}+z^{2}\sqrt{\dfrac{y}{zx^{4}+x^{3}y^{2}}}\geq \dfrac{x^2z+y^2x+z^2y}{\sqrt{2}}$

Παρατηρούμε με λίγες πράξεις πως $x^{2}\sqrt{\dfrac{z}{xy^{4}+y^{3}z^{2}}}=\dfrac{x^4z^2}{\sqrt{x^2z(y^2x+z^2y)}}=$ \displaystyle{\dfrac{a^2}{\sqrt{a(b+c)}} , όπου

a=x^2z

b=y^2x

c=z^2y

\dfrac{a^2}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{b(c+a)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}} όπου

a, b, c

Andreescu

\dfrac{a^2}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{b(c+a)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{c(a+b)}}\geq

\dfrac{(a+b+c)^2}{\sqrt{ab+ac}+\sqrt{bc+ba}+\sqrt{ca+cb}} Άρα αρκεί:

\dfrac{(a+b+c)^2}{\sqrt{ab+ac}+\sqrt{bc+ba}+\sqrt{ca+cb}}\geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}} $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}(a+b+c)}{\sqrt{ab+ac}+\sqrt{bc+ba}+\sqrt{ca+cb}}\geq 1\Leftrightarrow$

$\sqrt{2}(a+b+c)\geq \sqrt{ab+ac}+\sqrt{bc+ba}+\sqrt{ca+cb}$

Όμως γνωρίζουμε πως $\sqrt{k}+\sqrt{l}+\sqrt{m}\leq \sqrt{3(k+l+m)}$ , όπου k, l, m

θετικοί πραγματικοί.

Επομένως αρκεί:

$\sqrt{2}(a+b+c)\geq \sqrt{6(ab+bc+ca)}\Leftrightarrow$ $2(a+b+c)^2\geq 6(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$ που ισχύει.

Συνεπώς η ελάχιστη τιμή της

είναι $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ και επιτυγχάνεται όταν a=b=c

, δηλαδή όταν x=y=z=1

, καθώς όλες οι ανισότητες που χρησιμοποιήσαμε είχαν ισότητα όταν a=b=c

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Θα αποδείξουμε πως:

$\dfrac{a^2}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{b(c+a)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

όπου θετικοί πραγματικοί.
.

Αν την γράψουμε

$\dfrac{a^\frac{3}{2}}{\sqrt{(b+c)}}+\dfrac{b^\frac{3}{2}}{\sqrt{(c+a)}}+\dfrac{c^\frac{3}{2}}{\sqrt{(a+b)}}\geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

και μετά $a=\dfrac{a}{(b+c)^{\frac{1}{3}}}.(b+c)^{\frac{1}{3}}$ και ομοίως τα άλλα

τότε προκύπτει άμεσα από Holder

#7

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Μετατρέποντας και τα άλλα κλάσματα με τον ίδιο τρόπο, η ζητούμενη ανισότητα γίνεται:

$\dfrac{a^2}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{b(c+a)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

όπου θετικοί πραγματικοί.

Αλλιώς:

$\displaystyle{\sum \dfrac{a^2}{\sqrt{a(b+c)}}=2\sqrt{2}\sum \dfrac{a^2}{2\sqrt{2a(b+c)}}\geq 2\sqrt{2}\sum \frac{a^2}{2a+b+c}\geq 2\sqrt{2}\frac{(a+b+c)^2}{4(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{\sqrt{2}}}$

Ελάχιστη τιμή παράστασης

Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση