Ελάχιστη τιμή παράστασης
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Ελάχιστη τιμή παράστασης
Έστω οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να εξετάσετε αν η παρακάτω παράσταση παρουσιάζει ελάχιστη τιμή και αν ναι να την προσδιορίσετε:
Φιλικά,
Μάριος
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Κύριε Μάριε αν μπορείτε να γράψετε και το επίπεδο της άσκησης.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Γεια σου Χάρη!ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Κύριε Μάριε αν μπορείτε να γράψετε και το επίπεδο της άσκησης.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Νομίζω ότι το επίπεδο είναι για Seniors (ίσως προχωρημένο επίπεδο...). Δεν είμαι και απόλυτα σίγουρος.
Φιλικά.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Επειδή την έλυσα νομίζω ότι για τους μικρούς μας(στο μάτι και την ηλικία μόνο είναι μικροί)
είναι μια χαψιά.
είναι μια χαψιά.
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Θα αποδείξουμε πως:M.S.Vovos έγραψε: Έστω οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να εξετάσετε αν η παρακάτω παράσταση παρουσιάζει ελάχιστη τιμή και αν ναι να την προσδιορίσετε:
Φιλικά,
Μάριος
Παρατηρούμε με λίγες πράξεις πως \displaystyle{\dfrac{a^2}{\sqrt{a(b+c)}}a=x^2zb=y^2xc=z^2y\dfrac{a^2}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{b(c+a)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}a, b, cAndreescu\dfrac{a^2}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{b(c+a)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{c(a+b)}}\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{\sqrt{ab+ac}+\sqrt{bc+ba}+\sqrt{ca+cb}}\dfrac{(a+b+c)^2}{\sqrt{ab+ac}+\sqrt{bc+ba}+\sqrt{ca+cb}}\geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}}
Όμως γνωρίζουμε πως , όπου θετικοί πραγματικοί.
Επομένως αρκεί:
που ισχύει.
Συνεπώς η ελάχιστη τιμή της είναι και επιτυγχάνεται όταν , δηλαδή όταν , καθώς όλες οι ανισότητες που χρησιμοποιήσαμε είχαν ισότητα όταν .
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Θα αποδείξουμε πως:
όπου θετικοί πραγματικοί.
.
Αν την γράψουμε
και μετά και ομοίως τα άλλα
τότε προκύπτει άμεσα από Holder
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Αλλιώς:Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Μετατρέποντας και τα άλλα κλάσματα με τον ίδιο τρόπο, η ζητούμενη ανισότητα γίνεται:
όπου θετικοί πραγματικοί.
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες