IMC Stage-II 2016

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7269
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Demetres » Τρί Απρ 18, 2017 8:32 pm

Βάζω κάποια θέματα από τον διαγωνισμό IMC που έγινε πέρυσι. Θυμίζω ότι απευθύνεται σε μαθητές δημοτικού. Σε κάθε άσκηση ζητείται μόνο η τελική απάντηση χωρίς την οποιαδήποτε δικαιολόγηση. Εδώ όμως ας δούμε πλήρεις εξηγήσεις.

Άσκηση 1: Δίνεται κανονικό πεντάγωνο ABCDE πλευράς μήκους 1 m. Υπάρχουν 5,15,14,9 και 17 μαθητές στις κορυφές A,B,C,D και E αντίστοιχα. Ο δάσκαλος θέλει να υπάρχει ίσος αριθμός από μαθητές σε κάθε κορυφή και έτσι κάποιοι μαθητές πρέπει να περπατήσουν σε άλλες κορυφές. Μπορούν να περπατήσουν μόνο κατά μήκος των πλευρών του πενταγώνου. Ποιο είναι το ελάχιστο συνολικό μήκος σε μέτρα που πρέπει να περπατήσουν οι μαθητές;

Άσκηση 2: Οι A,B και C τρέχουν 200 μέτρα ο καθένας με σταθερή ταχύτητα. Όταν τερματίζει ο A, ο B βρίσκεται 40 μέτρα πίσω από τον A και ο C βρίσκεται 10 μέτρα πίσω από τον B. Όταν τερματίζει ο B, ο C πρέπει να τρέξει για ακόμη 2 δευτερόλεπτα. Για πόσα ακόμη δευτερόλεπτα έτρεξε ο B από την στιγμή που τερμάτισε ο A;

Άσκηση 3: Με κέντρο κάθε κορυφή ενός τετραγώνου πλευράς 1 cm, εγγράφουμε κύκλο ακτίνας 1 cm όπως φαίνεται στο πιο κάτω διάγραμμα. Πόσο μεγαλύτερο σε \mathrm{cm}^2 είναι το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής από το εμβαδόν κύκλου ακτίνας 1 cm; (Χρησιμοποιήστε \pi = 3.14.)

CapturFiles.png
CapturFiles.png (17.23 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές


Άσκηση 4: Πόσα πολλαπλάσια του 18 υπάρχουν μεταξύ των 8142016 και 8202016;

Άσκηση 5: Στην καλαθόσφαιρα η βολή αξίζει έναν πόντο, το δίποντο δύο και το τρίποντο τρεις. Ο Στέφανος πετυχαίνει 8 βολές και 14 άλλα καλάθια. Αν έβαζε τα διπλάσια δίποντα και τα μισά τρίποντα θα πετύχαινε 7 επιπλέον πόντους. Πόσους πόντους σκόραρε ο Στέφανος;

Άσκηση 6: Ο Γιάννης τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από ότι περπατάει. (Και οι δύο ταχύτητες είναι σταθερές.) Μια μέρα που πήγε στο σχολείο, περπάτησε διπλάσιο χρόνο από ότι έτρεξε και συνολικά του πήρε 30 λεπτά. Την επόμενη μέρα έτρεξε διπλάσιο χρόνο από ότι περπάτησε. Πόσα λεπτά του πήρε για να πάει στο σχολείο;

Άσκηση 7: Ο Δημήτρης έχει μερικά φιστίκια. Την πρώτη μέρα έφαγε 13 φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο τον υπολοίπων το απόγευμα. Την δεύτερη μέρα έφαγε 16 φιστίκια το πρωί και το ένα δέκατο των υπολοίπων το απόγευμα. Αν έφαγε τον ίδιο αριθμό φιστικιών κάθε μέρα, πόσα φιστίκια του έμειναν;

Άσκηση 8: Το άθροισμα 49 διαφορετικών θετικών ακεραίων ισούται με 2016. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος από αυτούς που πρέπει απαραίτητα να είναι περιττοί;

Άσκηση 9: Το άθροισμα 25 θετικών ακεραίων ισούται με 2016. Να βρεθεί η μέγιστη δυνατή τιμή του μέγιστου κοινού διαιρέτη τους.

Άσκηση 10: Δίνεται ορθογώνιο ABCD με AB = 12\mathrm{cm} και BC = 5\mathrm{cm}. To E είναι ένα σημείο που βρίσκεται στην απέναντι μεριά της AB από το C όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν AE = BE και το εμβαδόν του τριγώνου AEB είναι 36 \mathrm{cm}^2, να βρεθεί σε \mathrm{cm}^2 το εμβαδόν του τριγώνου AEC.

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.6]
\clip(0.004726675097229433,-0.8122964812438617) rectangle (7.485029251685043,6.686895748315156);
\draw (1.,0.)-- (1.,6.);
\draw (1.,6.)-- (3.5,6.);
\draw (1.,0.)-- (3.5,0.);
\draw (3.5,6.)-- (3.5,0.);
\draw (3.5,6.)-- (6.5,3.);
\draw (6.5,3.)-- (3.5,0.);
\draw (6.5,3.)-- (1.,6.);
\draw (3.4,0.16996547325757147) node[anchor=north west] {A};
\draw (3.4,6.743564707228701) node[anchor=north west] {B};
\draw (0.2,6.72467505425752) node[anchor=north west] {C};
\draw (0.2,0.15107582028639008) node[anchor=north west] {D};
\draw (6.4,3.7212202318396757) node[anchor=north west] {E};
\draw [fill=white] (1.,0.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (1.,6.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (3.5,6.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (3.5,0.) circle (1.5pt);
\draw [fill=white] (6.5,3.) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}

Άσκηση 11: Η Άννα ξεκινάει να γράφει όλους τους πρώτους αριθμούς τον ένα δίπλα από τον άλλο ως εξής: 235711\ldots. Σταματάει όταν έγραψε 10 πρώτους. Έπειτα, αφαιρεί 7 ψηφία ώστε να παραμείνει γραμμένος ένας εννιαψήφιος αριθμός. Ποια είναι η μέγιστη δυνατή τιμή αυτού του αριθμού;

Άσκηση 12: Δίνονται τρεις διψήφιοι αριθμοί ώστε το άθροισμα οποιονδήποτε δύο να έχει τα ίδια ψηφίο με τον τρίτο αριθμό αλλά με την ανάποδη σειρά. Να βρεθεί το άθροισμα των τριών αριθμών.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Παρ Απρ 21, 2017 5:59 pm

Demetres έγραψε:
Άσκηση 2: Οι A,B και C τρέχουν 200 μέτρα ο καθένας με σταθερή ταχύτητα.


Με την ίδια ταχύτητα όλοι;


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Παρ Απρ 21, 2017 6:12 pm

Η απάντηση, ήταν λάθος
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Πέμ Απρ 27, 2017 8:56 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Παρ Απρ 21, 2017 6:49 pm

Demetres έγραψε:
Άσκηση 1: Δίνεται κανονικό πεντάγωνο ABCDE πλευράς μήκους 1 m. Υπάρχουν 5,15,14,9 και 17 μαθητές στις κορυφές A,B,C,D και E αντίστοιχα. Ο δάσκαλος θέλει να υπάρχει ίσος αριθμός από μαθητές σε κάθε κορυφή και έτσι κάποιοι μαθητές πρέπει να περπατήσουν σε άλλες κορυφές. Μπορούν να περπατήσουν μόνο κατά μήκος των πλευρών του πενταγώνου. Ποιο είναι το ελάχιστο συνολικό μήκος σε μέτρα που πρέπει να περπατήσουν οι μαθητές;


Problem2.jpg
Problem2.jpg (27.7 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές


Κατά μέσο όρο, θα πρέπει σε κάθε κορυφή να υπάρχουν \dfrac{5+15+14+9+17}{5}=12 μαθητές. Άρα έχω:

A+7=12
B-3=12
C-2=12
D+3=12
E-5=12

Θα πρέπει 3 μαθητές του B να κινηθούν στο A, 2 μαθητές του C να κινηθούν στο D, 1 μαθητής του E να κινηθεί στο D και 4 μαθητές του E να πάνε στο A

Άρα έχω: \boxed{3+2+1+4=10}
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Παρ Μάιος 12, 2017 3:28 pm, έχει επεξεργασθεί 8 φορές συνολικά.


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 99
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Τσιαλας Νικολαος » Παρ Απρ 21, 2017 6:49 pm

με διαφορετική ταχύτητα ο καθένας!!! Για αυτό δίνει το 200 μέτρα!


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7269
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Demetres » Κυρ Απρ 23, 2017 10:37 am

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Θα πρέπει 3 μαθητές του B να κινηθούν στο A, 2 μαθητές του C να κινηθούν στο D, 1 μαθητής του E να κινηθεί στο D και 4 μαθητές του E να κινηθούν στο A


Σωστά. Δεν έδωσες όμως την τελική απάντηση στο ερώτημα:

Demetres έγραψε:Ποιο είναι το ελάχιστο συνολικό μήκος σε μέτρα που πρέπει να περπατήσουν οι μαθητές;


Από αυτά που έγραψες η απάντηση βγαίνει 10. Δίνω και μια επιπλέον δικαιολόγηση που εξηγεί πέραν πάσης αμφιβολίας γιατί δεν μπορούμε να πετύχουμε λιγότερα από 10 μέτρα:

Στο A πρέπει να μετακινηθούν τουλάχιστον 7 άτομα. Στο D πρέπει να μετακινηθούν τουλάχιστον 3 άτομα. Συνολικά λοιπόν πρέπει να μετακινηθούν απαραίτητα τουλάχιστον 10 άτομα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7269
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Demetres » Κυρ Απρ 23, 2017 10:42 am

Demetres έγραψε:Άσκηση 2: Οι A,B και C τρέχουν 200 μέτρα ο καθένας με σταθερή ταχύτητα. Όταν τερματίζει ο A, ο B βρίσκεται 40 μέτρα πίσω από τον A και ο C βρίσκεται 10 μέτρα πίσω από τον B. Όταν τερματίζει ο B, ο C πρέπει να τρέξει για ακόμη 2 δευτερόλεπτα. Για πόσα ακόμη δευτερόλεπτα έτρεξε ο B από την στιγμή που τερμάτισε ο A;


Κάνω την αρχή:

Όταν τερμάτισε ο A, ο B έτρεξε συνολικά 160 μέτρα και ο C συνολικά 150 μέτρα. Άρα όταν τερμάτισε ο B ο C έτρεξε συνολικά 150 \times 200 / 160 = 187.5 μέτρα.


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 23, 2017 3:05 pm

Demetres έγραψε:
Demetres έγραψε:Άσκηση 2: Οι A,B και C τρέχουν 200 μέτρα ο καθένας με σταθερή ταχύτητα. Όταν τερματίζει ο A, ο B βρίσκεται 40 μέτρα πίσω από τον A και ο C βρίσκεται 10 μέτρα πίσω από τον B. Όταν τερματίζει ο B, ο C πρέπει να τρέξει για ακόμη 2 δευτερόλεπτα. Για πόσα ακόμη δευτερόλεπτα έτρεξε ο B από την στιγμή που τερμάτισε ο A;


Κάνω την αρχή:

Όταν τερμάτισε ο A, ο B έτρεξε συνολικά 160 μέτρα και ο C συνολικά 150 μέτρα. Άρα όταν τερμάτισε ο B ο C έτρεξε συνολικά 150 \times 200 / 160 = 187.5 μέτρα.


Όταν τερμάτισε ο A, ο B έτρεξε συνολικά 160m. και ο C συνολικά 150m. Άρα όταν τερμάτισε ο B, ο C έτρεξε συνολικά 150 \cdot  \dfrac{200}{160} = 187,5m. Άρα, τρέχει με ταχύτητα \dfrac{200-187,5}{2}=6,25m/s. Επομένως, τα 200m. τα κάνει σε: \dfrac{200}{6,25}=32s. και ο B σε 32-2=30s. Άρα, τα 40m. τα κάνει σε: \dfrac{200}{30}=\dfrac{40}{x} \Rightarrow \boxed{x=6}


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 23, 2017 3:07 pm

Demetres έγραψε:Ποιο είναι το ελάχιστο συνολικό μήκος σε μέτρα που πρέπει να περπατήσουν οι μαθητές;

Από αυτά που έγραψες η απάντηση βγαίνει 10. Δίνω και μια επιπλέον δικαιολόγηση που εξηγεί πέραν πάσης αμφιβολίας γιατί δεν μπορούμε να πετύχουμε λιγότερα από 10 μέτρα:

Στο A πρέπει να μετακινηθούν τουλάχιστον 7 άτομα. Στο D πρέπει να μετακινηθούν τουλάχιστον 3 άτομα. Συνολικά λοιπόν πρέπει να μετακινηθούν απαραίτητα τουλάχιστον 10 άτομα.


:coolspeak:
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Κυρ Απρ 23, 2017 9:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7269
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Demetres » Κυρ Απρ 23, 2017 8:31 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:
Demetres έγραψε:Άσκηση 2: Οι A,B και C τρέχουν 200 μέτρα ο καθένας με σταθερή ταχύτητα. Όταν τερματίζει ο A, ο B βρίσκεται 40 μέτρα πίσω από τον A και ο C βρίσκεται 10 μέτρα πίσω από τον B. Όταν τερματίζει ο B, ο C πρέπει να τρέξει για ακόμη 2 δευτερόλεπτα. Για πόσα ακόμη δευτερόλεπτα έτρεξε ο B από την στιγμή που τερμάτισε ο A;


Κάνω την αρχή:

Όταν τερμάτισε ο A, ο B έτρεξε συνολικά 160 μέτρα και ο C συνολικά 150 μέτρα. Άρα όταν τερμάτισε ο B ο C έτρεξε συνολικά 150 \times 200 / 160 = 187.5 μέτρα.


Όταν τερμάτισε ο A, ο B έτρεξε συνολικά 160m. και ο C συνολικά 150m. Άρα όταν τερμάτισε ο B, ο C έτρεξε συνολικά 150 \cdot  \dfrac{200}{160} = 187,5m. Άρα, τρέχει με ταχύτητα \dfrac{200-187,5}{2}=6,25m/s. Επομένως, τα 200m. τα κάνει σε: \dfrac{200}{6,25}=32s. και ο B σε 32-2=30s. Άρα, τα 40m. τα κάνει σε: \dfrac{200}{30}=\dfrac{40}{x} \Rightarrow \boxed{x=6}


Σωστά! Λίγο πιο σύντομα:

Ο C έκανε τα τελευταία 12.5 μέτρα σε 2 δευτερόλεπτα. Συνολικά, από την στιγμή που τερμάτισε ο A μέχρι την στιγμή που τερμάτισε ο B, o C έτρεξε 187.5-150 = 37.5 μέτρα. Αυτά τα έκανε σε 6 δευτερόλεπτα. Ακριβώς τόσο χρόνο χρειάστηκε και ο B για να τερματίσει.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7269
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Demetres » Κυρ Απρ 23, 2017 8:32 pm

Προστέθηκαν στην αρχική ανάρτηση τα προβλήματα 3 και 4.


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 23, 2017 9:00 pm

Demetres έγραψε:Προστέθηκαν στην αρχική ανάρτηση τα προβλήματα 3 και 4.


Σύντομα θα απαντήσω! ;)


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 23, 2017 9:23 pm

Demetres έγραψε:
Άσκηση 4: Πόσα πολλαπλάσια του 18 υπάρχουν μεταξύ των 8142016 και 8202016;


Επειδή το 8142016 δεν είναι πολλαπλάσιο του 18, ξεκινάω από το 8142012

Επειδή το 8202016 δεν είναι πολλαπλάσιο του 18, ξεκινάω από το 8202006

Άρα, ανάμεσα στο 8142016 και το 8202016 υπάρχουν: \dfrac{8202006-8142012}{18}=\boxed{3333} πολλαπλάσια


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7269
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από Demetres » Κυρ Απρ 23, 2017 9:29 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:
Άσκηση 4: Πόσα πολλαπλάσια του 18 υπάρχουν μεταξύ των 8142016 και 8202016;


Επειδή το 8142016 δεν είναι πολλαπλάσιο του 18, ξεκινάω από το 8142012

Επειδή το 8202016 δεν είναι πολλαπλάσιο του 18, ξεκινάω από το 8202006

Άρα, ανάμεσα στο 8142016 και το 8202016 υπάρχουν: \dfrac{8202006-8142012}{18}=\boxed{3333} πολλαπλάσια


Σωστή η απάντηση.

Πως βρήκες ότι τα 8142012 και 8202006 είναι πολλαπλάσια του 18;
Γιατί ξεκίνησες από το 8142012 και όχι από το 8142030;


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 23, 2017 9:34 pm

Demetres έγραψε:
Ο C έκανε τα τελευταία 12,5 μέτρα σε 2 δευτερόλεπτα. Συνολικά, από την στιγμή που τερμάτισε ο A μέχρι την στιγμή που τερμάτισε ο B, o C έτρεξε 187.5-150=37.5 μέτρα. Αυτά τα έκανε σε 6 δευτερόλεπτα. Ακριβώς τόσο χρόνο χρειάστηκε και ο B για να τερματίσει.


:coolspeak: :thumbup:
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Δευ Απρ 24, 2017 3:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Απρ 23, 2017 9:40 pm

Demetres έγραψε:
Γιατί ξεκίνησες από το 8142012 και όχι από το 8142030;


Είναι το ίδιο. Ανάμεσα σε αυτά τα νούμερα, βρίσκεται ο δωθείς αριθμός. Ένα πολλαπλάσιο υπάρχει. Είναι το ίδιο, απλώς πήγα Αθήνα-Καλαμάτα μέσω Θεσσαλονίκης
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Δευ Απρ 24, 2017 4:54 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Απρ 24, 2017 3:39 pm

Demetres έγραψε:Πως βρήκες ότι τα 8142012 και 8202006 είναι πολλαπλάσια του 18;


Είναι πολλαπλάσια του 2 και του 9


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7269
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Demetres » Δευ Απρ 24, 2017 4:13 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:Πως βρήκες ότι τα 8142012 και 8202006 είναι πολλαπλάσια του 18;


Είναι πολλαπλάσια του 2 και του 9


Σωστά. Χρησιμοποιώντας τους σχετικούς κανόνες διαιρετότητας:

- Είναι πολλαπλάσια του 2 επειδή λήγουν σε άρτιο ψηφίο.
- Είναι πολλαπλάσια του 9 επειδή το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 9.

ΥΓ. Επειδή η 3 που είναι η μόνη άλυτη είναι δυσκολότερη, έβαλα και τις ασκήσεις 5 και 6.


Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Απρ 24, 2017 4:15 pm

Demetres έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Demetres έγραψε:Πως βρήκες ότι τα 8142012 και 8202006 είναι πολλαπλάσια του 18;


Είναι πολλαπλάσια του 2 και του 9


Σωστά. Χρησιμοποιώντας τους σχετικούς κανόνες διαιρετότητας:

- Είναι πολλαπλάσια του 2 επειδή λήγουν σε άρτιο ψηφίο.
- Είναι πολλαπλάσια του 9 επειδή το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 9.

ΥΓ. Επειδή η 3 που είναι η μόνη άλυτη είναι δυσκολότερη, έβαλα και τις ασκήσεις 5 και 6.


Πάλι καλά, γιατί είχε αρχίσει να με εκνευρίζει. Δεν νομίζω ότι θα τη λύσω σύντομα, αλλά θα λύσω και τις άλλες!
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Δευ Απρ 24, 2017 5:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}
Άβαταρ μέλους
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 574
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Επικοινωνία:

Re: IMC Stage-II 2016

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Απρ 24, 2017 4:48 pm

Demetres έγραψε:
Άσκηση 6: Ο Γιάννης τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από ότι περπατάει. (Και οι δύο ταχύτητες είναι σταθερές.) Μια μέρα που πήγε στο σχολείο,
περπάτησε διπλάσιο χρόνο από ότι έτρεξε και συνολικά του πήρε 30 λεπτά. Την επόμενη μέρα έτρεξε διπλάσιο χρόνο από ότι περπάτησε. Πόσα λεπτά του πήρε για να πάει στο σχολείο;


Γεια σας κύριε Δημήτρη!

Έστω x η ταχύτητα που περπατάει. Αν τρέχει με διπλάσια ταχύτητα από ότι περπατάει, την πρώτη μέρα έτρεξε και περπάτησε ίσο χρόνο x+x.

Τη δεύτερη μέρα, έτρεξε διπλάσιο χρόνο από ότι περπάτησε, 2x+\dfrac{x}{2}=\dfrac{5x}{2}. Τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα αν ο χρόνος ήταν y, έχω:

\dfrac{5xy}{2}=60x \Rightarrow \boxed{y=24}


\sqrt{\text{\gr{Νικόλας}}^2 \! - \text{\gr{Μαθηματικά}}^2}

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες