Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙVΦ 11η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

XLIII Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών

Καλινιγκραντ 24-30 Απριλίου 2017. Θέματα της 4ης φάσης (τελικής) για την 11η τάξη.

Πρώτη μέρα

1. Ο αριθμός

είναι τέτοιος, ώστε και τα δυο αθροίσματα $S = \sin 64x + \sin 65x$ και $C = \cos 64x + \cos 65x$ να είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξετε, ότι σε ένα από αυτά τα αθροίσματα και οι δυο προσθετέοι είναι ρητοί.

2. Οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο ABC

(

) είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου

. Οι ακτίνες

και

τέμνουν τις πλευρές

και

στα σημεία B{'}

και

αντίστοιχα. Από το σημείο C{'}

φέρουμε την ευθεία

, παράλληλη προς την ευθεία

. Να αποδείξετε, ότι η ευθεία

εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου B{'}OC

.

3. Στον πίνακα είναι γραμμένοι στην σειρά

θετικοί αριθμοί $a_{1}, a_{2},…,a_{n}$ . Ο Βασίλης θέλει να καταγράψει κάτω από κάθε αριθμό $a_{i}$ αριθμό $b_{i} \geq a_{i}$ έτσι, ώστε για οποιουσδήποτε δυο εκ των αριθμών $b_{1},b_{2},…,b_{n}$ ο λόγος του ενός με τον άλλο να είναι ακέραιος. Να αποδείξετε, ότι ο Βασίλης μπορεί να γράψει τους επιθυμητούς αριθμούς έτσι, ώστε να ικανοποιείται η ανισότητα

$b_{1}b_{2}…b_{n} \leq 2^{\dfrac{n-1}{2}}a_{1}a_{2}…a_{n}$ .

4. Ένας ταχυδακτυλουργός και ο βοηθός του έχουν μια τράπουλα με κάρτες, η μια πλευρά των οποίων («πίσω») είναι ίδια για όλες τις κάρτες, και η άλλη είναι χρωματισμένη με ένα από 2017 χρώματα (στην τράπουλα υπάρχουν 1000000 κάρτες κάθε χρώματος). Οι δυο τους προετοιμάζονται να παρουσιάσουν το ακόλουθο κόλπο. Ο ταχυδακτυλουργός εξέρχεται από την αίθουσα και οι θεατές τοποθετούν στο τραπέζι σε μια σειρά n > 1

κάρτες με την πίσω πλευρά προς τα κάτω. Ο βοηθός εξετάζει αυτές τις κάρτες και έπειτα, εκτός από μια, αναποδογυρίζει τις κάρτες με την πίσω πλευρά προς τα πάνω, χωρίς να αλλάξει την σειρά. Εν συνεχεία εισέρχεται ο ταχυδακτυλουργός, εξετάζει τις κάρτες, δείχνει σε μια από τις κάρτες με την πίσω πλευρά πάνω και ανακοινώνει το χρώμα της. Για ποιο ελάχιστο

ο ταχυδακτυλουργός μπορεί εκ τον προτέρων να συνεννοηθεί με τον βοηθό του έτσι, ώστε το κόλπο να είναι με βεβαιότητα επιτυχές.

Δεύτερη μέρα

5. Έστω P(x)

πολυώνυμο βαθμού $n \geq 2$ με μη αρνητικούς συντελεστές και a,b

και

τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου. Να αποδείξετε, ότι και οι αριθμοί $\sqrt[n]{(P(a)}, \sqrt[n]{(P(b)}$ και $\sqrt[n]{(P(c)}$ αποτελούν μήκη πλευρών ενός τριγώνου.

6. Σε μερικά κελιά τετραγωνικού πίνακα $200 \times 200$ είναι τοποθετημένα πιόνια (ένα σε κάθε κέλι), κόκκινου ή μπλε χρώματος. Τα υπόλοιπα κελιά είναι κενά. Ένα πιόνι «βλέπει» ένα άλλο, αν αυτά βρίσκονται στην ίδια γραμμή ή στήλη. Είναι γνωστό ότι κάθε πιόνι βλέπει ακριβώς πέντε πιόνια διαφορετικού χρώματος από το ίδιο (και πιθανόν κάποια αριθμό από πιόνια με το δικό του χρώμα). Να βρείτε το μεγαλύτερο αριθμό πιονιών που βρίσκονται στον πίνακα.

7. Αρχικά στον πίνακα ήταν γραμμένος ο θετικός ακέραιος

. Οποιαδήποτε χρονική στιγμή ο Μιχάλης μπορεί να διαλέξει αριθμό a > 1

του πίνακα, να το σβήσει και να γράψει όλους τους φυσικούς διαιρέτες του

, εκτός από τον ίδιο (στον πίνακα μπορούν να προκύψουν ίδιοι αριθμοί). Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα προέκυψε, ότι στον πίνακα ήταν γραμμένοι N^2

αριθμοί. Για ποια

αυτό μπορεί να συμβεί;

8. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ABCD

. Συμβολίζουμε με $I_{A}, I_{B}, I_{C}$ και $I_{D}$ τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων $\omega_{A}, \omega_{B}, \omega_{C}$ και $\omega_{D}$ των τριγώνων DAB, ABC, BCD

και

αντίστοιχα. Προέκυψε, ότι $\angle BI_{A}A + \angle I_{C}I_{A}I_{D} = 180^0$ . Να αποδείξετε, ότι $\angle BI_{B}A + \angle I_{C}I_{B}I_{D} = 180^0$ .

Στατιστικά: (125 συμμετοχές)
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{\gr} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 7 & 95 & 103 & 13 & 12 & 26 & 30 & 10 & 0 \\ \hline 6 & 0 & 2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 1 \\ \hline 5 & 6 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ \hline 4 & 2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0 \\ \hline 3 & 4 & 3 & 1 & 5 & 4 & 4 & 2 & 1 \\ \hline 2 & 0 & 0 & 4 & 11 & 2 & 26 & 2 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 7 & 32 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ \hline 0 & 17 & 15 & 94 & 61 & 89 & 61 & 103 & 123 \\ \hline \end{tabular}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:
2. Οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο () είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου . Οι ακτίνες και τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα. Από το σημείο φέρουμε την ευθεία , παράλληλη προς την ευθεία . Να αποδείξετε, ότι η ευθεία εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .

Έστω

σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του B'OC

έτσι ώστε

. Προφανώς θα είναι $\widehat{B'CO}=\widehat{KCO}$ (1).

Ακόμη είναι $\widehat{AC'O}=\widehat{AB'O}=\widehat{OKC}$ (2).

Από (1) και (2) έχουμε ότι τα τρίγωνα AC'C

και

είναι όμοια. Άρα $\widehat{C'AC}=\widehat{KOC}$ . Όμως $\widehat{BOC}=2\cdot \widehat{C'AC}$ . Επομένως η

είναι είναι διχοτόμος της $\widehat{BOC}$ , δηλαδή είναι μεσοκάθετος του

. Έπεται λοιπόν πως τα σημεία A, O, K

είναι συνευθειακά. Ακόμα το τρίγωνο C'KB'

είναι ισοσκελές.

Είναι όμως OC'=OB=OK

, άρα το

είναι το περίκεντρο και του C'KB'

. Άρα είναι $\widehat{C'OB'}=2\cdot \widehat{C'KB'}$ . Από την άλλη είναι $\widehat{C'OB'}=\widehat{BOC}=2\cdot \widehat{C'AB'}$ . Συνεπώς $\widehat{C'KB'}=\widehat{C'AB'}$ και επειδή το AC'KB'

είναι χαρταετός, έπεται ότι είναι και ρόμβος. Άρα AC//C'K

, δηλαδή η C'K

ταυτίζεται με την

.

Επιπλέον έχουμε ότι $\widehat{C'KO}=\widehat{B'KO}=\widehat{B'CO}=\widehat{KCO}$ που σημαίνει ότι η C'K

, δηλαδή η

, εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του B'OC

.

: εφάπτεται....png (31.1 KiB) Προβλήθηκε 1070 φορές

mikemoke · #3

[quote="Al.Koutsouridis"]XLIII Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών

4. Ένας ταχυδακτυλουργός και ο βοηθός του έχουν μια τράπουλα με κάρτες, η μια πλευρά των οποίων («πίσω») είναι ίδια για όλες τις κάρτες, και η άλλη είναι χρωματισμένη με ένα από 2017 χρώματα (στην τράπουλα υπάρχουν 1000000 κάρτες κάθε χρώματος). Οι δυο τους προετοιμάζονται να παρουσιάσουν το ακόλουθο κόλπο. Ο ταχυδακτυλουργός εξέρχεται από την αίθουσα και οι θεατές τοποθετούν στο τραπέζι σε μια σειρά κάρτες με την πίσω πλευρά προς τα κάτω. Ο βοηθός εξετάζει αυτές τις κάρτες και έπειτα, εκτός από μια, αναποδογυρίζει τις κάρτες με την πίσω πλευρά προς τα πάνω, χωρίς να αλλάξει την σειρά. Εν συνεχεία εισέρχεται ο ταχυδακτυλουργός, εξετάζει τις κάρτες, δείχνει σε μια από τις κάρτες με την πίσω πλευρά πάνω και ανακοινώνει το χρώμα της. Για ποιο ελάχιστο ο ταχυδακτυλουργός μπορεί εκ τον προτέρων να συνεννοηθεί με τον βοηθό του έτσι, ώστε το κόλπο να είναι με βεβαιότητα επιτυχές.

Eξετάζει όλες εκτος μίας η αναποδογυρίζει όλες εκτός μίασ;

Al.Koutsouridis · #4

mikemoke έγραψε: Eξετάζει όλες εκτος μίας η αναποδογυρίζει όλες εκτός μίασ;

Αναποδογυρίζει όλες εκτός από μια.

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙVΦ 11η τάξη)

Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙVΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙVΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙVΦ 11η τάξη)

Re: Πανρωσική Ολυμπιάδα Μαθηματικών 2016/17 (ΙVΦ 11η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση