Προετοιμασία για JBMO (2)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Προετοιμασία για JBMO (2)
Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να βρείτε την μεγιστή τιμή του , έτσι ώστε
Προβλήμα 3
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σκαληνού τριγώνου , με , εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και αντίστοιχα. Το σημείο είναι το μέσο της ευθείας , και το σημείο είναι το εγκέντρο του του τριγώνου . Αν οι ευθείες και τέμνουν η ευθεία, στα σημεία και αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να βρείτε την μεγιστή τιμή του , έτσι ώστε
Προβλήμα 3
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σκαληνού τριγώνου , με , εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και αντίστοιχα. Το σημείο είναι το μέσο της ευθείας , και το σημείο είναι το εγκέντρο του του τριγώνου . Αν οι ευθείες και τέμνουν η ευθεία, στα σημεία και αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Από εδώ είναι .Datis-Kalali έγραψε: Προβλήμα 3
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σκαληνού τριγώνου , με , εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και αντίστοιχα. Το σημείο είναι το μέσο της ευθείας , και το σημείο είναι το εγκέντρο του του τριγώνου . Αν οι ευθείες και τέμνουν η ευθεία, στα σημεία και αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
Είναι , άρα (1).
Είναι (2).
Από , άρα (3).
Από (1), (3) .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Η λύση είναι λανθασμένη.Datis-Kalali έγραψε: Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να βρείτε την μεγιστή τιμή του , έτσι ώστε
(1)
Θα δείξουμε ότι για κάθε ισχύει η (1).
Είναι (2)
Όμως, και τα κυκλικά, άρα
.
Από ΑΜ-ΓΜ, , άρα
, και η αρχική ανισότητα αποδείχτηκε.
Υ.Γ. Αν δεν κάνω λάθος η ανισότητα ισχύει για κάθε , οπότε πώς μπορεί να υπάρξει το ;
Η λύση είναι λανθασμένη
Ευχαριστώ τον Θανάση (socrates) για την επισήμανσή του στην επόμενη δημοσίευση.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Τετ Μάιος 17, 2017 12:48 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Datis-Kalali έγραψε: Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να βρείτε την μεγιστή τιμή του , έτσι ώστε
(1)
...
Από ΑΜ-ΓΜ, , άρα
, και η αρχική ανισότητα αποδείχτηκε.
Υ.Γ. Αν δεν κάνω λάθος η ανισότητα ισχύει για κάθε , οπότε πώς μπορεί να υπάρξει το ;
Ορέστη, υπάρχει πρόβλημα στο επισημασμένο σημείο. Χρειαζόμαστε σε αυτό το βήμα.
Θανάσης Κοντογεώργης
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Έχουμε πωςDatis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
Άρα πρέπει να ισχύει ότι:
Όμως ισχύει ότι
Άρα πρέπει
Όμως το δεν είναι υπόλοιπο του με το (Αν δεν κάνω λάθος... )
Άρα αναγκαστικά έχουμε πως .
Έπεται λοιπόν πως άρτιος. Έστω .
Τότε η εξίσωση γράφεται
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Αν άρτιος, έστω :
Η εξίσωση γράφεται:
Έχουμε πως
Πρέπει όμως , που είναι άτοπο σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις.
Αν περιττός:
Έχουμε πως και αφού περιττός έχουμε πως . Άρα , δηλαδή άρτιος, έστω .
Η εξίσωση γίνεται
Όμως το διαιρεί μόνο μια από τις δύο παρενθέσεις, όμοια και το . Άρα μια από τις δύο θα είναι και η άλλη . Προφανώς έχουμε πως και ότι , άρα .
Από το θεώρημα έχουμε πως το διαιρεί το σε μέγιστη δύναμη , καθώς ο είναι περιττός. Όμως το διαιρεί το σε μέγιστη δύναμη . Άρα αναγκαστικά .
Πρέπει λοιπόν να ισχύει ότι , που δεν έχει λύσεις.
Επομένως η εξίσωση είναι άλυτη στους ακεραίους.
Houston, we have a problem!
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Απάντηση στο 1ο ΘΕΜΑ.
Θα εργαστούμε με τα ισοϋπόλοιπα του 9.
(1)
(2)
(3)
Από (1), (2) και (3) προκύπτει ότι , το οποίο δεν ισχύει για κανέναν ακέραιο.
Άρα, η εξίσωση είναι αδύνατη στο σύνολο των ακεραίων.
Θα εργαστούμε με τα ισοϋπόλοιπα του 9.
(1)
(2)
(3)
Από (1), (2) και (3) προκύπτει ότι , το οποίο δεν ισχύει για κανέναν ακέραιο.
Άρα, η εξίσωση είναι αδύνατη στο σύνολο των ακεραίων.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Η παραπάνω ισοτιμία ισχύει για κάθε άρτιο.Ανδρέας Πούλος έγραψε:Απάντηση στο 1ο ΘΕΜΑ.
Από (1), (2) και (3) προκύπτει ότι , το οποίο δεν ισχύει για κανέναν ακέραιο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
To είναι προφανώς ισόπλευρο και άρα τα βλέπουν υπό ίσες καιDatis-Kalali έγραψε:
Προβλήμα 3
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του σκαληνού τριγώνου , με , εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και αντίστοιχα. Το σημείο είναι το μέσο της ευθείας , και το σημείο είναι το εγκέντρο του του τριγώνου . Αν οι ευθείες και τέμνουν η ευθεία, στα σημεία και αντίστοιχα, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.
μάλιστα την , όθεν το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο , συνεπώς
. Ομοίως . Τώρα θα είναι . Αφού όμως η
είναι εξωτερική στο ισοσκελές τρίγωνο θα είναι και ομοίως .
Μετά απ αυτά και άρα το είναι ισόπλευρο.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Αγαπητέ Ορέστη,
Νόμιζα ότι το είχα σβήσει εχτές το βράδυ, είχα δει το λογικό κενό.
Αλλά, να που δεν έσβησα. Σήμερα, δεν νομίζω ότι έχει νόημα να το κάνω.
Επίσης, είχα κάνει και αποσύνδεση από το Φόρουμ, στο οποίο τώρα μπήκα κατευθείαν. Κάτι δεν έκανα σωστά.
Νόμιζα ότι το είχα σβήσει εχτές το βράδυ, είχα δει το λογικό κενό.
Αλλά, να που δεν έσβησα. Σήμερα, δεν νομίζω ότι έχει νόημα να το κάνω.
Επίσης, είχα κάνει και αποσύνδεση από το Φόρουμ, στο οποίο τώρα μπήκα κατευθείαν. Κάτι δεν έκανα σωστά.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Ορέστη,
βρήκα αυτό το πρόβλημα σε αυτή τη σελίδα
https://math.stackexchange.com/question ... n-integers
βρήκα αυτό το πρόβλημα σε αυτή τη σελίδα
https://math.stackexchange.com/question ... n-integers
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Το πρόβλημα 3 είναι από τη ΒΜΟ του 2005.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 934p224997
To πρόβλημα 1 είναι από την ΙΜΟ Longlist 1987 και μάλιστα προτάθηκε από την Ελλάδα.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 83p2009076
https://artofproblemsolving.com/communi ... 934p224997
To πρόβλημα 1 είναι από την ΙΜΟ Longlist 1987 και μάλιστα προτάθηκε από την Ελλάδα.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 83p2009076
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Το πρόβλημα 2 ήταν εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... 513p815736
Η λύση βέβαια δεν είναι καθόλου κομψή.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 513p815736
Η λύση βέβαια δεν είναι καθόλου κομψή.
Κωνσταντίνος Μεταξάς
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Αναρωτιέμαι ποια είναι η λύση που έχει ο Datis - Kalali.knm2608 έγραψε:Το πρόβλημα 2 ήταν εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... 513p815736
Η λύση βέβαια δεν είναι καθόλου κομψή.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Γιατί είναι απαραίτητο να έχει λύση;Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αναρωτιέμαι ποια είναι η λύση που έχει ο Datis - Kalali.knm2608 έγραψε:Το πρόβλημα 2 ήταν εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... 513p815736
Η λύση βέβαια δεν είναι καθόλου κομψή.
Bye :')
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Αν είναι σωστή η απάντηση στον σύνδεσμο, είναι ακατάλληλη και για Seniors. Πόσω μάλλον για Juniors...JimNt. έγραψε:Γιατί είναι απαραίτητο να έχει λύση;Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αναρωτιέμαι ποια είναι η λύση που έχει ο Datis - Kalali.knm2608 έγραψε:Το πρόβλημα 2 ήταν εδώ
https://artofproblemsolving.com/communi ... 513p815736
Η λύση βέβαια δεν είναι καθόλου κομψή.
Όταν δεν έχουμε λύση σε άσκηση που προτείνουμε πρέπει να το δηλώνουμε.
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Εγώ πιστεύω ότι βάσει της δυσκολίας και των πηγών των ασκήσεων, καμιά άσκηση δεν ανταποκρίνεται στο επίπεδο.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO (2)
Συμφωνώ απόλυτα με τον Σιλουανό και να συμπληρώσω (αυτό δεν αφορά τον Datis - Kalali) ότι όποιοι προτείνουν ασκήσεις, να φροντίζουν να ανταποκρίνονται στον φάκελο που μπαίνουν, και να μην κάνουν ''επίδειξη'', βάζοντας ασκήσεις άσχετες, με ''τρελά'' θεωρήματα'', που απογοητεύουν τους μαθητές ( θέματα που δεν μπαίνουν ούτε σε IMO, ούτε είναι στο ύφος των διαγωνισμών!).
Αν θέλουμε να βάλουμε ''τρελά'' θέματα, θα πρέπει να φτιάξουμε έναν νέο φάκελο με τίτλο ''Πέρα από τα όρια''.
Και εκεί ο καθένας μπορεί να γράψει ό,τι ευφάνταστη ιδέα έχει ...
Αν θέλουμε να βάλουμε ''τρελά'' θέματα, θα πρέπει να φτιάξουμε έναν νέο φάκελο με τίτλο ''Πέρα από τα όρια''.
Και εκεί ο καθένας μπορεί να γράψει ό,τι ευφάνταστη ιδέα έχει ...
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες