Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις θετικοί ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να δείξετε ότι
Να βρείτε όλες τις θετικοί ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να δείξετε ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Datis Kalali μπορείς να βάλεις τις λύσεις σου ;
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Ναι. Ούτε εγώ κατάφερα κάτι. Είναι σίγουρα θέματα Γυμνασίου;
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Tην δεύτερη την έχω ξανασυναντήσει. Έπειτα από την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει κάτι αληθές.
Bye :')
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Μου φάνηκε λίγο πιο βατή από την άλλη, η οποία, δεν ξέρω, λύνεται με κάποιο θεώρημα; Τα προσπάθησα όλα, αλλά δεν το κατάφερα...JimNt. έγραψε:Tην δεύτερη την έχω ξανασυναντήσει. Έπειτα από την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει κάτι αληθές.
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Φιλικά... Καμία άσκηση Θ.Αριθμών δεν λύνεται με πράξεις... (Τι ακριβώς προσπάθησες; )
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Πέμ Μάιος 25, 2017 9:32 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Bye :')
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Κατά λάθος το έγραψα. Έχει διορθωθεί!JimNt. έγραψε:Φιλικά... Καμία άσηση Θ.Αριθμών δεν λύνεται με πράξεις...
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Θεωρήματα... Δεν βρήκα κάποιο που να βοηθάει!JimNt. έγραψε:Τι ακριβώς προσπάθησες;
Παρεμπιπτόντως, μπορούν να ανακοινωθούν οι πηγές;
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Πάλεψα με πολλά , άλλα το μόνο που κατάφερα με την πρώτη άσκηση ήταν να αποδείξω ότι είναι περιττοί και μάλιστα ότι . Τίποτα άλλο σημαντικό.
Υ.Γ Το κακό με την συγκεκριμένη είναι ότι έχει μια λύση, την , άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποια κλασική μέθοδο που να αποδεικνύει ότι η εξίσωση είναι άλυτη. Πρέπει να εκμεταλλευτούμε το γεγονός του ότι a, b, c<2 (εκτός αν υπάρχει και άλλη λύση).
Υ.Γ Το κακό με την συγκεκριμένη είναι ότι έχει μια λύση, την , άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάποια κλασική μέθοδο που να αποδεικνύει ότι η εξίσωση είναι άλυτη. Πρέπει να εκμεταλλευτούμε το γεγονός του ότι a, b, c<2 (εκτός αν υπάρχει και άλλη λύση).
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Πέμ Μάιος 25, 2017 9:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Έφτασα κι εγώ εκεί. Τι βγάζει;Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Πάλεψα με πολλά , άλλα το μόνο που κατάφερα με την πρώτη άσκηση ήταν να αποδείξω ότι είναι περιττοί και μάλιστα ότι . Τίποτα άλλο σημαντικό.
(Τα θέματα είνα Γυμνασίου;)
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Εδώ(λίγο ακατάλληλο φαίνεται...) https://math.stackexchange.com/question ... -a-b-and-c (δεν είναι καν λύση βασικά)
τελευταία επεξεργασία από min## σε Πέμ Μάιος 25, 2017 10:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Θα δείξουμε ότι η μόνη λύση είναι η . Κάπως επιγραμματικά διότι η λύση είναι αρκετά μεγάλη:Datis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις θετικοί ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
Με βγαίνει .
Με βγαίνει .
Με βγαίνει .
Με και τα πιο πάνω έχουμε , και . Πρέπει και . Καταλήγουμε στο .
Με και χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα παίρνουμε .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Χρησιμοποιώντας ότι και παίρνουμε η
Περίπτωση 1: Αν : Τότε . Αν , τότε . Αν τότε έχουμε άτοπο αφού η ακολουθία είναι περιοδικά .
Περίπτωση 2: Αν τότε .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Αφού τότε και άρα . Επειδή επιπλέον και η ακολουθία είναι περιοδικά τότε καταλήγουμε στο
ή
Τώρα δουλεύουμε . Πρέπει
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Όμως τόσο η περίπτωση όσο και η καταλήγουν σε άτοπο.
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Μια διαφορετική λύση εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h353444
https://artofproblemsolving.com/community/c6h353444
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Demetres έγραψε:Θα δείξουμε ότι η μόνη λύση είναι η . Κάπως επιγραμματικά διότι η λύση είναι αρκετά μεγάλη:Datis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 1
Να βρείτε όλες τις θετικοί ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
Με βγαίνει .
Με βγαίνει .
Με βγαίνει .
Με και τα πιο πάνω έχουμε , και . Πρέπει και . Καταλήγουμε στο .
Με και χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα παίρνουμε .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Χρησιμοποιώντας ότι και παίρνουμε η
Περίπτωση 1: Αν : Τότε . Αν , τότε . Αν τότε έχουμε άτοπο αφού η ακολουθία είναι περιοδικά .
Περίπτωση 2: Αν τότε .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Αφού τότε και άρα . Επειδή επιπλέον και η ακολουθία είναι περιοδικά τότε καταλήγουμε στο
ή
Τώρα δουλεύουμε . Πρέπει
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Η ακολουθία είναι περιοδικά .
Όμως τόσο η περίπτωση όσο και η καταλήγουν σε άτοπο.
Από τις παραπάνω λύσεις, φαίνεται ότι η άσκηση αυτή, μόνο για Junior δεν είναι!silouan έγραψε:Μια διαφορετική λύση εδώ:
https://artofproblemsolving.com/community/c6h353444
Παρακαλώ τον Datis - Kalali να είναι πιο προσεκτικός στα θέματα που δημοσιεύει, προσέχοντας και το επίπεδο στο οποίο αναφέρονται!
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Η προς απόδειξη γράφεται .Datis-Kalali έγραψε:Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να δείξετε ότι
Χρησιμοποιούμε ότι για οποιαδήποτε .
Είναι λοιπόν .
Αρκεί λοιπόν η ισοδύναμα,
, που μετά τις πράξεις (!) δίνει
, που ισχύει.
Το ίσον αν .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Προετοιμασία για JBMO 2017- Άλγεβρα και θεωρία αρίθμων
Το 2 ήταν και εδώDatis-Kalali έγραψε:
Προβλήμα 2
Αν είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί , να δείξετε ότι
https://artofproblemsolving.com/community/c6h247723
Κωνσταντίνος Μεταξάς
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 19 επισκέπτες