Ήθελα να 'ξερα ποιος έβαλε αυτήν την άσκηση. Συγχαρητήρια στην επιτροπή που την απέρριψε.silouan έγραψε: Ν5: Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι ώστε
Βάζω την συντομότερη λύση που κατάφερα να βρω. Ειλικρινά θα 'θελα να δω αν υπάρχει κάτι διαφορετικό.
Ας αρχίσουμε με μερικές παρατηρήσεις.
Θα γράφω για τους τέσσερις αριθμούς. Θα γράφω επίσης
1) Πρέπει επειδή σε διαφορετική περίπτωση .
2) Θα έχουμε τουλάχιστον δύο περιττούς ή δύο άρτιους άρα το είναι πολλαπλάσιο του . (Είναι και πολλαπλάσιο του αλλά δεν το χρησιμοποιώ.) Πρέπει λοιπόν ένας από τους να είναι άρτιος.
3) Πρέπει . Πράγματι σε διαφορετική περίπτωση έχω . Τότε . Άρα . Τότε όμως , άτοπο.
4) Αν το δεν είναι πολλαπλάσιο του , τότε . Πράγματι σε διαφορετική περίπτωση μπορώ να έχω το πολύ έναν από τους ισότιμο με . Επίσης δεν μπορώ να έχουν δύο αριθμούς με τον ένα ισότιμο με και τον άλλο με . (Το άθροισμά τους διαιρεί τον .) Η περιπτώσεις modulo
οι αριθμοί να είναι ή απορρίπτονται επειδή έχουν άθροισμα ψηφίων ισότιμο με που δίνει
5) : Σε διαφορετική περίπτωση, αν τότε , απορρίπτεται. Άρα που δίνει . Τότε που δίνει , άτοπο.
6) : Σε διαφορετική περίπτωση είναι που δίνει . Άρα που δίνει , άτοπο.
Λαμβάνοντας υπόψη τα (1),(5),(6) αρκεί να εξετάσω τις πιο κάτω περιπτώσεις.
Περίπτωση 1:
Περίπτωση 1Α:
Περίπτωση 1B:
Περίπτωση 2:
Περίπτωση 2Α:
Περίπτωση 2B:
Ξεκινώ με την 1Α. Λαμβάνοντας υπόψη τα (2),(3),(4) (αν τότε ) πρέπει ο να είναι ένας από τους εξής:
Οι πρώτοι τρεις και οι τελευταίοι δύο απορρίπτονται επειδή δεν έχουν δύο ψηφία με άθροισμα πολλαπλάσιο του . Οι απορρίπτονται επειδή θα έπρεπε να είναι πολλαπλάσια του (έχουν δύο ζεύγη ψηφίων με άθροισμα πολλαπλάσιο του ) αλλά το άθροισμα των ψηφίων τους δεν είναι πολλαπλάσιο του . Τους άλλους τρεις τους ελέγχω ένα προς ένα και βρίσκω ότι κατάλληλος είναι μόνο ο που δίνει τον αριθμό .
Περίπτωση 1Β: Θέλω να ελέγξω τους
Για παρόμοιους λόγους όπως στην 1Α απορρίπτονται όλοι εκτός από τον που όμως δεν κάνει.
Περίπτωση 2Α: Θέλω να ελέγξω τους
και
Ο δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιος του επειδή τότε θα έληγε σε ενώ το δεν εμφανίζεται. Απορρίπτω λοιπόν όσους αριθμούς έχουν δύο ψηφία με άθροισμα πολλαπλάσιο του . Απορρίπτω επίσης όσους έχουν μόνο περιττά ψηφία. Τέλος απορρίπτω αριθμούς με βάση την διαιρετότητα με το και το όπως στην περίπτωση 1Α. Μου μένουν μόνο ο αριθμός τον οποίο ελέγχω ότι δεν δουλεύει.
Περίπτωση 2B: Θέλω να ελέγξω τους
Χρησιμοποιώντας την λογική της παραγράφου 2Α απορρίπτονται όλοι.