JBMO Shortlist 2016 (1/2)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
JBMO Shortlist 2016 (1/2)
Ας δούμε τα θέματα της περσινής Shortlist:
A1: Οι θετικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
A2: Ήταν το θέμα 2 του διαγωνισμού.
A3: Να βρεθούν όλα τα ζεύγη ακεραίων που είναι τέτοια ώστε
A4: Οι μη-αρνητικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
A5: Οι θετικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
A1: Οι θετικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
A2: Ήταν το θέμα 2 του διαγωνισμού.
A3: Να βρεθούν όλα τα ζεύγη ακεραίων που είναι τέτοια ώστε
A4: Οι μη-αρνητικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
A5: Οι θετικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
τελευταία επεξεργασία από silouan σε Σάβ Ιούλ 01, 2017 4:55 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Shortlist 2016
Καλό. Παρατηρώ ότιsilouan έγραψε:Ας δούμε τα θέματα της περσινής Shortlist:
A1: Οι θετικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
Οπότε από ΑΜ-ΓΜ έχω
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: JBMO Shortlist 2016
Περιορισμοί: .silouan έγραψε: A3: Να βρεθούν όλα τα ζεύγη ακεραίων που είναι τέτοια ώστε
Υποθέτουμε ότι και ότι η παράσταση ισούται με κάποιο .
Τότε η εξίσωση γράφεται ως:
.
Το αριστερό μέλος είναι άρρητος ενώ το δεξί ρητός, άτοπο.
Αν τώρα η εξίσωση γράφεται:
με επιπλέον περιορισμό: .
Επομένως πρέπει για κάποιο .
Όμως αφού ο αριθμός είναι ακέραιος, τότε και ο θα είναι ακέραιος.
Άρα από τα παραπάνω συμπεραίνουμε πως και ο πρέπει να είναι ακέραιος.
Η (1) γίνεται:
Από όπου προκύπτουν οι πιθανές λύσεις: .
Από την εξίσωση όμως η μόνη δεκτή λύση είναι η
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Τρί Ιουν 27, 2017 4:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: JBMO Shortlist 2016
Θέτουμε και .silouan έγραψε:
A5: Οι θετικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
Τότε η συνθήκη γίνεται και η ανισότητα
Ισοδύναμα έχουμε
Άρα από C-S
Κωνσταντίνος Μεταξάς
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Shortlist 2016
Η ανισότητα είναι γνήσια και το 3 η καλύτερη σταθερή...silouan έγραψε:A4: Οι θετικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: JBMO Shortlist 2016
Θανάση, η εκφώνηση έλεγε τελικά "μη αρνητικοί", απλά εκ παραδρομής έγραψα θετικοί. Επομένως, έχουμε ισότητα.socrates έγραψε:
Η ανισότητα είναι γνήσια και το 3 η καλύτερη σταθερή...
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: JBMO Shortlist 2016
silouan έγραψε: A4: Οι μη-αρνητικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
Η ισότητα ισχύει αν .
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: JBMO Shortlist 2016
Ωραία Γιάννη! Εξήγησέ μας όμως και το σκεπτικό και τα βήματα πίσω από τη λύση.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: JBMO Shortlist 2016
Εχω μια διαφορετική λυση για το Α5.
Θα την δημοσιεύσω αυριο με επεξεργασία αυτού το μηνύματος.
Θα την δημοσιεύσω αυριο με επεξεργασία αυτού το μηνύματος.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Shortlist 2016
silouan έγραψε: A4: Οι μη-αρνητικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
Ισχύει επίσης (για ) ότι
αλλά δεν έχω όμορφη απόδειξη.
-
- Δημοσιεύσεις: 73
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 09, 2017 7:33 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
Re: JBMO Shortlist 2016
Με βάση την απόδειξη του κύριου Δημήτρη,θα ήθελα να συνεχίσω την λύση(μπορεί να φανεί εύκολο σε ορισμένους αλλά το θεωρώ καλό και για τους επισκέπτες που διαβάζουν το )Demetres έγραψε:silouan έγραψε: A4: Οι μη-αρνητικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
Ισχύει επίσης (για ) ότι
αλλά δεν έχω όμορφη απόδειξη.
Είναι:
Αρκεί να αποδείξουμε ότι
Αλλά έυκολα λόγω υπόθεσης.
Μπορεί να απογοητευθείς αν αποτύχεις, αλλά είσαι χαμένος αν δεν προσπαθήσεις.
Re: JBMO Shortlist 2016
Η λύση μου είναι ουσιαστικά ίδια με αυτήν του Γιάννη, απλά την αφήνω αφού έχει περισσότερες λεπτομέρειες.silouan έγραψε:
A4: Οι μη-αρνητικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να δείξετε ότι
Από AM-GM έχουμε
Άρα
Από CS
Κωνσταντίνος Μεταξάς
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: JBMO Shortlist 2016
Τα βήματα και οι σκέψεις είναι οι εξής:silouan έγραψε:Ωραία Γιάννη! Εξήγησέ μας όμως και το σκεπτικό και τα βήματα πίσω από τη λύση.
(1) Ο παρανομαστής αποτελείται από ριζικό και από ένα πολυώνυμο 5ου βαθμού, οπότε θα λειτουργήσουμε είτε με (που δεν βρήκα
τρόπο) είτε με εύρεση πολυωνύμου.
(2) Πρέπει να βρούμε ένα πολυώνυμο τέτοιο ώστε:
το οποίο να απλοποιεί την ανισότητα για κάποιο .
(3) Κλέβουμε και κοιτάμε τα παραπάνω σχόλια, οπότε διαπιστώνουμε πως η ισότητα ισχύει στο .
(4) Το πολυώνυμο πρέπει να είναι έκτου βαθμού και παράλληλα θα βοηθούσε να είναι το τετράγωνο ενός πολυωνύμου διότι θα εξαφανιζόταν
το ριζικό.
(5) Θα προτιμούσαμε να ισχύει ότι έτσι ώστε ο παράγοντας να απλοποιούταν, αφήνοντας μας να εφαρμόσουμε .
(6) Για να είναι αποτελεσματική η θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε με κάποιο τρόπο την δοσμένη ισότητα.
Με βάση τα παραπάνω δεν αργούμε να μαντέψουμε ότι: για κάποιο .
Έτσι βρίσκουμε πως το και βρίσκουμε το κατάλληλο πολυώνυμο.
Ενδεχομένως (αν όχι σίγουρα) να υπάρχει κάποια πιο απλή μέθοδος εύρεσης του πολυωνύμου.
Edit: Τελικά υπάρχει πολύ πιο εύκολος τρόπος και βρίσκεται ακριβώς από πάνω .
Edit 2: Τα πολυώνυμα μου θύμισαν το πρόβλημα 4 του προκριματικού.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Re: JBMO Shortlist 2016
Και για μια ανταλλαγή(; )ιδεών με
https://artofproblemsolving.com/communi ... inequality
https://artofproblemsolving.com/communi ... inequality
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: JBMO Shortlist 2016
Συνεχίζω με τη θεωρία αριθμών:
Ν1: Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο που διαιρεί τον για κάθε πρώτο .
N2: Να βρεθεί το μέγιστο πλήθος θετικών ακεραίων που ικανοποιούν τις παρακάτω δύο συνθήκες.
(i) Το 11 δεν διαιρεί καμιά διαφορά με
(ii) Το άθροισμα διαιρείται από το 11.
Ν3: Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι ώστε ο αριθμός να είναι
α) ακέραιος
β) πρώτος
Ν4: Ήταν το πρόβλημα 3 του διαγωνισμού.
Ν5: Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι ώστε
Ν1: Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο που διαιρεί τον για κάθε πρώτο .
N2: Να βρεθεί το μέγιστο πλήθος θετικών ακεραίων που ικανοποιούν τις παρακάτω δύο συνθήκες.
(i) Το 11 δεν διαιρεί καμιά διαφορά με
(ii) Το άθροισμα διαιρείται από το 11.
Ν3: Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι ώστε ο αριθμός να είναι
α) ακέραιος
β) πρώτος
Ν4: Ήταν το πρόβλημα 3 του διαγωνισμού.
Ν5: Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι ώστε
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: JBMO Shortlist 2016
To N1 εδώsilouan έγραψε:Συνεχίζω με τη θεωρία αριθμών:
Ν1: Να βρείτε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο που διαιρεί τον για κάθε πρώτο .
N2: Να βρεθεί το μέγιστο πλήθος θετικών ακεραίων που ικανοποιούν τις παρακάτω δύο συνθήκες.
(i) Το 11 δεν διαιρεί καμιά διαφορά με
(ii) Το άθροισμα διαιρείται από το 11.
Ν3: Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι ώστε ο αριθμός να είναι
α) ακέραιος
β) πρώτος
Ν4: Ήταν το πρόβλημα 3 του διαγωνισμού.
Ν5: Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι ώστε
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Shortlist 2016
Δεν μπορούμε να έχουμε δύο πολλαπλάσια του διότι παραβιάζεται το (i). Δεν μπορούμε να έχουμε ένα πολλαπλάσιο του διότι παραβιάζεται το (ii). Πράγματι στο άθροισμα, όλα εκτός από ένα από τα γινόμενα είναι πολλαπλάσια του . Αλλά τότε το άθροισμα δεν είναι πολλαπλάσιο του . Από το (i) δεν μπορούμε να έχουμε δυο αριθμούς που αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο .silouan έγραψε:Συνεχίζω με τη θεωρία αριθμών:
N2: Να βρεθεί το μέγιστο πλήθος θετικών ακεραίων που ικανοποιούν τις παρακάτω δύο συνθήκες.
(i) Το 11 δεν διαιρεί καμιά διαφορά με
(ii) Το άθροισμα διαιρείται από το 11.
Από τα πιο πάνω, πρέπει να έχουμε το πολύ θετικούς ακεραίους. Μπορούμε να έχουμε αν πάρουμε τους . Το (i) προφανώς ισχύει. Για το (ii) παρατηρούμε ότι το άθροισμα ισούται με
το οποίο είναι πολλαπλάσιο του .
Σίγουρα το έχουμε ξαναδεί ότι ο αριθμητής του είναι πολλαπλάσιο του για πρώτο.
Re: JBMO Shortlist 2016
Δημήτρη, ένας τρόπος για να τελειώσουμε από εδώ είναι να παρατηρήσουμε ότι κάθε όρος του αθροίσματος είναι διαφορετικός επομένως το άθροισμα είναι ισοϋπόλοιπο με .Demetres έγραψε: Για το (ii) παρατηρούμε ότι το άθροισμα ισούται με
Το 11 δεν παίζει κάποιο συγκεκριμένο ρόλο, το ζητούμενο ισχύει για κάθε πρώτο .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: JBMO Shortlist 2016
Αρχικά οπότε θα χωρίσουμε την διαιρετότητα σε 2 μέρηsilouan έγραψε: Ν3: Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι ώστε ο αριθμός να είναι
α) ακέραιος
(1) οπότε για όλα τα ο αριθμός διαιρείται με το .
(2) . Τα υπόλοιπα της διαίρεσης του με το είναι:
Οπότε πρέπει άρα
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: JBMO Shortlist 2016
Φυσικά αν είναι πρώτος, θα είναι και ακέραιος, άρα από τα προηγούμεναsilouan έγραψε:
Ν3: Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι ώστε ο αριθμός να είναι
β) πρώτος
Έστω λοιπόν . Έχουμε: για κάποιο πρώτο αριθμό και μη αρνητικό ακέραιο .
Όμως:
Και για κάθε
οπότε πρέπει: που δίνει . Όμως καμία λύση δεν είναι δεκτή οπότε δεν υπάρχει έτσι ώστε
ο αριθμός να είναι πρώτος.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες