JBMO Shortlist 2016 (1/2)

#21

silouan έγραψε: Ν5: Να βρεθούν όλοι οι τετραψήφιοι $\overline{abcd}$ ώστε
$\diplaystyle (a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)=\overline{abcd}$

Ήθελα να 'ξερα ποιος έβαλε αυτήν την άσκηση. Συγχαρητήρια στην επιτροπή που την απέρριψε.

Βάζω την συντομότερη λύση που κατάφερα να βρω. Ειλικρινά θα 'θελα να δω αν υπάρχει κάτι διαφορετικό.

Ας αρχίσουμε με μερικές παρατηρήσεις.

Θα γράφω $x \geqslant y \geqslant z \geqslant w$ για τους τέσσερις αριθμούς. Θα γράφω επίσης $N = \overline{abcd}$

1) Πρέπει $z \geqslant 1$ επειδή σε διαφορετική περίπτωση N=0

.
2) Θα έχουμε τουλάχιστον δύο περιττούς ή δύο άρτιους άρα το

είναι πολλαπλάσιο του

. (Είναι και πολλαπλάσιο του

αλλά δεν το χρησιμοποιώ.) Πρέπει λοιπόν ένας από τους x,y,z,w

να είναι άρτιος.
3) Πρέπει $y \leqslant 4$ . Πράγματι σε διαφορετική περίπτωση έχω $x,y \geqslant 5,z \geqslant 1, w \geqslant 0$ . Τότε $N \geqslant 5^2 \cdot 6^2 = 9000$ . Άρα $x \geqslant 9$ . Τότε όμως $N \geqslant (9/5) \cdot 9000 > 9999$ , άτοπο.
4) Αν το

δεν είναι πολλαπλάσιο του

, τότε $x \equiv y \equiv z \equiv w \bmod 3$ . Πράγματι σε διαφορετική περίπτωση μπορώ να έχω το πολύ έναν από τους x,y,z,w

ισότιμο με $0 \bmod 3$ . Επίσης δεν μπορώ να έχουν δύο αριθμούς με τον ένα ισότιμο με $1 \bmod 3$ και τον άλλο με $2 \bmod 3$ . (Το άθροισμά τους διαιρεί τον

.) Η περιπτώσεις modulo

οι αριθμοί να είναι 0,1,1,1

ή

απορρίπτονται επειδή έχουν άθροισμα ψηφίων ισότιμο με $0 \bmod 3$ που δίνει 3 | N

5) $w \leqslant 1$ : Σε διαφορετική περίπτωση, αν x=y=z=w=2

τότε $N \geqslant 4^6 = 4096$ , απορρίπτεται. Άρα $x \geqslant 3$ που δίνει $N \geqslant 5^3 \cdot 4^3 = 8000$ . Τότε $x \geqslant 8$ που δίνει N > 9999

, άτοπο.
6) $z \leqslant 2$ : Σε διαφορετική περίπτωση είναι $x,y,z \geqslant 3$ που δίνει $N \geqslant 3^3 \cdot 6^3 > 5000$ . Άρα $x \geqslant 5$ που δίνει $N \geqslant 5 \cdot 6 \cdot 3^2 \cdot 8^2 > 9999$ , άτοπο.

Λαμβάνοντας υπόψη τα (1),(5),(6) αρκεί να εξετάσω τις πιο κάτω περιπτώσεις.

Περίπτωση 1: w=0

Περίπτωση 1Α: z=1

Περίπτωση 1B: z=2

Περίπτωση 2: w=1

Περίπτωση 2Α: w=1

Περίπτωση 2B: w=2

Ξεκινώ με την 1Α. Λαμβάνοντας υπόψη τα (2),(3),(4) (αν 3|N

τότε

) πρέπει ο $\overline{wzyx}$ να είναι ένας από τους εξής:

0111

Οι πρώτοι τρεις και οι τελευταίοι δύο απορρίπτονται επειδή δεν έχουν δύο ψηφία με άθροισμα πολλαπλάσιο του

. Οι

απορρίπτονται επειδή θα έπρεπε να είναι πολλαπλάσια του

(έχουν δύο ζεύγη ψηφίων με άθροισμα πολλαπλάσιο του

) αλλά το άθροισμα των ψηφίων τους δεν είναι πολλαπλάσιο του

. Τους άλλους τρεις τους ελέγχω ένα προς ένα και βρίσκω ότι κατάλληλος είναι μόνο ο 0126

που δίνει τον αριθμό 2016

.

Περίπτωση 1Β: Θέλω να ελέγξω τους

0222

Για παρόμοιους λόγους όπως στην 1Α απορρίπτονται όλοι εκτός από τον 0234

που όμως δεν κάνει.

Περίπτωση 2Α: Θέλω να ελέγξω τους

1113

και

Ο

δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιος του

επειδή τότε θα έληγε σε

ενώ το

δεν εμφανίζεται. Απορρίπτω λοιπόν όσους αριθμούς έχουν δύο ψηφία με άθροισμα πολλαπλάσιο του

. Απορρίπτω επίσης όσους έχουν μόνο περιττά ψηφία. Τέλος απορρίπτω αριθμούς με βάση την διαιρετότητα με το

και το

όπως στην περίπτωση 1Α. Μου μένουν μόνο ο αριθμός 1125

τον οποίο ελέγχω ότι δεν δουλεύει.

Περίπτωση 2B: Θέλω να ελέγξω τους

1224

Χρησιμοποιώντας την λογική της παραγράφου 2Α απορρίπτονται όλοι.

#22

Demetres έγραψε:
Ήθελα να 'ξερα ποιος έβαλε αυτήν την άσκηση. Συγχαρητήρια στην επιτροπή που την απέρριψε.

Δημήτρη, φαντάσου όμως ότι υπήρχε κόσμος που την ήθελε για τελευταίο θέμα!
Το μόνο που θεωρώ ενδιαφέρον εδώ είναι η απάντηση.
Με το που την πρωτοείδα μου έφερε στο μυαλό αυτή https://artofproblemsolving.com/communi ... 601p357995
αλλά ευτυχώς δεν επιλέχθηκε. Θα βάλω κάποια στιγμή μια σκιαγράφηση της επίσημης λύσης. Η πρώτη βασική σχέση που βγαίνει είναι ότι $3\mid a+b+c+d$

Γιάννης Μπόρμπας · #23

Πολύ κρίμα ο κόπος που έκανα χθες το βράδυ για να βρώ μία σύντομη λύση για αυτή την άσκηση... Αυτός που την πρότεινε, δεν μπορούσε να σκεφτεί πόσο θα ταλαιπωρούσε τους συμμετέχοντες;

#24

silouan έγραψε:
Demetres έγραψε:
Ήθελα να 'ξερα ποιος έβαλε αυτήν την άσκηση. Συγχαρητήρια στην επιτροπή που την απέρριψε.

Δημήτρη, φαντάσου όμως ότι υπήρχε κόσμος που την ήθελε για τελευταίο θέμα!
Το μόνο που θεωρώ ενδιαφέρον εδώ είναι η απάντηση.
Με το που την πρωτοείδα μου έφερε στο μυαλό αυτή https://artofproblemsolving.com/communi ... 601p357995
αλλά ευτυχώς δεν επιλέχθηκε. Θα βάλω κάποια στιγμή μια σκιαγράφηση της επίσημης λύσης. Η πρώτη βασική σχέση που βγαίνει είναι ότι $3\mid a+b+c+d$

Σιλουανέ στην παραπάνω άσκηση που παραπέμπεις (η οποία είναι από το 4ο θέμα της JBMO 2005 που διοργανώθηκε στην Ελλάδα και συγκεκριμένα στη Βέροια) στον σύνδεσμο του AOPS, ήμουν διορθωτής ΑΚΡΙΒΩΣ σε αυτό το (εντελώς ακατάλληλο για μένα) πρόβλημα...

Θυμάμαι διάφορα ευτράπελα από τότε:

1ον) Τελειώσαμε τη διόρθωση στις 11 το βράδυ (όταν όλες οι ομάδες - πλην της Τουρκίας που είχε μείνει για το τέλος - ήταν στο official dinner).

2ον) Το μόνο παιδί που κατάφερε να ολοκληρώσει ΠΛΗΡΩΣ την άσκηση και να πάρει ΟΛΕΣ τις μονάδες ήταν μία κοπέλα από τη Ρουμανία η οποία χρειάστηκε 10 σελίδες για να πάρει όλες τις περιπτώσεις και να τις αναλύσει πλήρως. Δεν πρόλαβε όμως να αγγίξει το πρόβλημα της Γεωμετρίας.

Φυσικά συμφωνώ ότι το πρόβλημα N5 της Shortlist του 2016 ήταν ακατάλληλο για να τεθεί σε διαγωνισμό!

Αλέξανδρος

JBMO Shortlist 2016 (1/2)

Re: JBMO Shortlist 2016

Re: JBMO Shortlist 2016

Re: JBMO Shortlist 2016

Re: JBMO Shortlist 2016

Μέλη σε σύνδεση