Όμορφο πρόβλημα...

[Soteris]

Έχω πει σε "παλιούς" μου μαθητές όταν εντοπίζουν κάποιο όμορφο πρόβλημα κατά τη διάρκεια των σπουδών τους να μου το κοινοποιούν αν θέλουν για να "παιδεύομαι" και εγώ λιγάκι. Σήμερα μου ήρθε στο ηλεκτρονικό ταχυδρομείο το παρακάτω πρόβλημα, το οποίο θεωρώ πως είναι αρκετά ενδιαφέρον. Μπορεί να δοθεί σε μαθητές ανεξαρτήτου ηλικίας. Ελπίζω να το χαρείτε.

Πρόβλημα

Σε μια τάξη ένας μαθητής γράφει στον πίνακα μιαν ακολουθία από αριθμούς. Κάτω από κάθε αριθμό της ακολουθίας αυτής, ένας δεύτερος μαθητής γράφει πόσες φορές εμφανίζεται ο αριθμός αυτός στην ακολουθία. Το αποτέλεσμα είναι μια δεύτερη ακολουθία αριθμών. Κάτω από κάθε αριθμό της δεύτερης ακολουθίας, ένας τρίτος μαθητής γράφει πόσες φορές εμφανίζεται ο αριθμός αυτός στη δεύτερη ακολουθία. Το αποτέλεσμα είναι μια τρίτη ακολουθία αριθμών. Με τον ίδιο τρόπο ένας τέταρτος, ένας πέμπτος, ένας έκτος και ένας έβδομος μαθητής κατασκευάζουν από μια ακολουθία από την αμέσως προηγούμενη. Στο τέλος, παρατηρούμε ότι οι πρώτες έξι ακολουθίες είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους, ενώ η έβδομη ακολουθία είναι ακριβώς η ίδια με την έκτη.

Να γράψετε μιαν ακολουθία που θα μπορούσε να έχει δοθεί από τον πρώτο μαθητή. Να εξηγήσετε τη στρατηγική επίλυσης του προβλήματος που ακολουθήσατε.

[Γιώργος Μήτσιος]

Καλημέρα! Ας κάνω μια προσπάθεια :
Η έκτη ακολουθία για ταυτίζεται με την έβδομη αρκεί να είναι όλο άρια
και τότε στην πέμπτη είναι ο ίδιος αριθμός φορές. Προχωρώντας λοιπόν ..ανάποδα (δοκιμάζοντας κι' απορρίπτοντας)
βρήκα ότι στην δεύτερη σειρά αρκεί να έχουμε οκτώ άρια , τέσσερα άρια δύο διπλά και δύο άσους.
Επομένως στην πρώτη αρκεί να βάλουμε τους (διαφορετικούς) αριθμούς με συχνότητες αντίστοιχα.
Επέλεξα τους
Η λύση στην οποία έφτασα είναι :
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

άντοτε ιλικά Γιώργος.

[Soteris]

...(δοκιμάζοντας κι' απορρίπτοντας)...

Να πούμε Γιώργο ότι στην προσπάθειά μας αυτή πρέπει να έχουμε κατά νου (για να μην δοκιμάζουμε και να απορρίπτουμε στα τυφλά) κάποια πράγματα, τα οποία προφανώς θα έχεις σκεφτεί και εσύ στην προσπάθειά σου:

(α) Κάθε ακολουθία, εκτός από την πρώτη, πρέπει να αποτελείται από θετικούς ακέραιους αριθμούς από το μέχρι και το .

(β) Σε κάθε ακολουθία, εκτός από την πρώτη, το άθροισμα των διαφορετικών θετικών ακεραίων που εμφανίζονται δεν πρέπει να υπερβαίνει το , αλλιώς δεν είναι δυνατή η κατασκευή της αμέσως προηγούμενης ακολουθίας.

(γ) Στις «κάτω» ακολουθίες προσπαθούμε να τοποθετούμε όσο το δυνατό μεγαλύτερους αριθμούς, για να έχουμε την ευχέρεια να συμπληρώσουμε τις «πάνω» ακολουθίες χωρίς να παραβιάσουμε τον «περιορισμό» (β).