Να υπολογίσετε την τιμή του
:
Πρόβλημα 2
Ο
είναι περιττός πρώτος αριθμός και διαιρέτης του μέγιστου κοινού διαιρέτη των αριθμών 
και 
.(α) Να βρείτε την τιμή του
.(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Πρόβλημα 3
Στο πιο κάτω σχήμα το
είναι σημείο της πλευρά 
του τετραγώνου 
τέτοιο ώστε 
. Αν το εμβαδόν του τριγώνου 
είναι 
να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου 
.![\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1.858268732042116,-1.608695240765236) rectangle (3.0017407303574086,2.5352258708942554);
\draw [line width=1pt] (-1.,2.)-- (-1.,-1.);
\draw [line width=1pt] (-1.,-1.)-- (2.,-1.);
\draw [line width=1pt] (2.,-1.)-- (2.,2.);
\draw [line width=1pt] (2.,2.)-- (-1.,2.);
\draw [line width=1pt] (-1.,2.)-- (2.,-1.);
\draw [line width=1pt] (2.,-1.)-- (0.,2.);
\draw (-1,2) node[anchor=south east] {A};
\draw (2,2) node[anchor=south west] {B};
\draw (2,-1) node[anchor=north west] {\text{\gr Γ}};
\draw (-1,-1) node[anchor=north east] {\text{\gr Δ}};
\draw (0,2) node[anchor=south] {E};
\draw [fill=white] (-1.,2.) circle (2.5pt);
\draw [fill=white] (-1.,-1.) circle (2.5pt);
\draw [fill=white] (2.,-1.) circle (2.5pt);
\draw [fill=white] (2.,2.) circle (2.5pt);
\draw [fill=white] (0.,2.) circle (2.5pt);
\end{tikzpicture}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ac237e87b9bd391e645b95fa8633103d.png "\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-1.858268732042116,-1.608695240765236) rectangle (3.0017407303574086,2.5352258708942554);
\draw [line width=1pt] (-1.,2.)-- (-1.,-1.);
\draw [line width=1pt] (-1.,-1.)-- (2.,-1.);
\draw [line width=1pt] (2.,-1.)-- (2.,2.);
\draw [line width=1pt] (2.,2.)-- (-1.,2.);
\draw [line width=1pt] (-1.,2.)-- (2.,-1.);
\draw [line width=1pt] (2.,-1.)-- (0.,2.);
\draw (-1,2) node[anchor=south east] {A};
\draw (2,2) node[anchor=south west] {B};
\draw (2,-1) node[anchor=north west] {\text{\gr Γ}};
\draw (-1,-1) node[anchor=north east] {\text{\gr Δ}};
\draw (0,2) node[anchor=south] {E};
\draw [fill=white] (-1.,2.) circle (2.5pt);
\draw [fill=white] (-1.,-1.) circle (2.5pt);
\draw [fill=white] (2.,-1.) circle (2.5pt);
\draw [fill=white] (2.,2.) circle (2.5pt);
\draw [fill=white] (0.,2.) circle (2.5pt);
\end{tikzpicture}")
Πρόβλημα 4
Ο Αντρέας, ο Βασίλης, ο Κώστας, η Δέσποινα και η Ελένη μοιράζονται ένα μπουκάλι χυμό πορτοκαλιού. Ο Αντρέας παίρνει πρώτος το μπουκάλι, και καθώς βάζει χυμό στο ποτήρι του, χύνει έξω
χυμού. Όταν το ποτήρι του και το μπουκάλι έχουν την ίδια ποσότητα χυμού, δίνει το μπουκάλι στον επόμενο. Ομοίως, ο Bασίλης, ο Κώστας, η Δέσποινα και η Ελένη χύνουν έξω χυμού καθώς βάζουν τη δική τους μερίδα, και ο κάθε ένας σταματά να βάζει χυμό όταν το ποτήρι του και το μπουκάλι έχουν την ίδια ποσότητα χυμού. Αν κάθε άτομο βάζει χυμό στο ποτήρι του με τη σειρά και στο τέλος παραμένει χυμού στη μπουκάλα, να βρείτε πόσα 
χυμού ήταν αρχικά στο μπουκάλι.
με το 
, το 
με το 
, ... , το
με το 
.
ζεύγη με άθροισμα 
το κάθε ένα, και επιπλέον το κλάσμα 
Συνολικό άθροισμα λοιπόν 
.
, τότε είναι απλό: 