Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017
Α΄ Γυμνασίου
Πρόβλημα 1
Δύο φίλοι, οι και , έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα προσθέτει , ενώ ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα αφαιρεί . Ύστερα από βήματα, οι δύο φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα.
(α) Να βρείτε την τιμή του .
(β) Ποιο είναι το κοινό αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγουν οι δύο φίλοι;
Πρόβλημα 2
Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο . Το είναι ύψος του τριγώνου , το είναι το μέσο του και το είναι σημείο του , ώστε το μήκος του να είναι διπλάσιο από το μήκος του . Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου .
Πρόβλημα 3
Τρία δοχεία, τα και , περιέχουν διάλυμα νερού με οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με άγνωστη περιεκτικότητα σε οξύ. Αδειάζουμε όλη την ποσότητα διαλύματος του δοχείου στα δύο πρώτα δοχεία, ώστε και τα δύο να έχουν τώρα διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ το καθένα. Να υπολογίσετε την ποσότητα (σε ) από διάλυμα που προσθέσαμε στο δοχείο .
Πρόβλημα 4
Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς που είναι μικρότεροι του και οι οποίοι όταν διαιρεθούν με τους αριθμούς και αφήνουν υπόλοιπα και , αντίστοιχα.
Πρόβλημα 1
Δύο φίλοι, οι και , έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα προσθέτει , ενώ ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα αφαιρεί . Ύστερα από βήματα, οι δύο φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα.
(α) Να βρείτε την τιμή του .
(β) Ποιο είναι το κοινό αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγουν οι δύο φίλοι;
Πρόβλημα 2
Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο . Το είναι ύψος του τριγώνου , το είναι το μέσο του και το είναι σημείο του , ώστε το μήκος του να είναι διπλάσιο από το μήκος του . Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου .
Πρόβλημα 3
Τρία δοχεία, τα και , περιέχουν διάλυμα νερού με οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ. Το δοχείο περιέχει διάλυμα με άγνωστη περιεκτικότητα σε οξύ. Αδειάζουμε όλη την ποσότητα διαλύματος του δοχείου στα δύο πρώτα δοχεία, ώστε και τα δύο να έχουν τώρα διάλυμα με περιεκτικότητα σε οξύ το καθένα. Να υπολογίσετε την ποσότητα (σε ) από διάλυμα που προσθέσαμε στο δοχείο .
Πρόβλημα 4
Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς που είναι μικρότεροι του και οι οποίοι όταν διαιρεθούν με τους αριθμούς και αφήνουν υπόλοιπα και , αντίστοιχα.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017
Β΄ Γυμνασίου
Πρόβλημα 1
Ίδιο με το πρόβλημα 2 της Α΄ Γυμνασίου.
Πρόβλημα 2
Τρεις φίλοι, οι και , έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα προσθέτει , ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα αφαιρεί , ενώ ο ξεκινά με τον αριθμό και στο πρώτο βήμα προσθέτει , στο δεύτερο βήμα , στο τρίτο βήμα , κ.ο.κ. Αν ύστερα από βήματα οι τρεις φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα, να βρείτε τον αριθμό .
Πρόβλημα 3
Ο Γιώργος χρωστά στον Γιάννη €. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο Γιώργος να ξεπληρώσει το χρέος του, χρησιμοποιώντας κέρματα του € και χαρτονομίσματα των € και €;
Σημείωση: Σε κάθε τρόπο μας ενδιαφέρει το πλήθος των νομισμάτων και όχι η σειρά με την οποία επιλέγονται π.χ. ένας τρόπος είναι « κέρματα του € και χαρτονομίσματα των €».
Πρόβλημα 4
(α) Να δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ότι:
(β) Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι .
i. Να δείξετε ότι .
ii. Να δείξετε ότι ο είναι ακέραιος αριθμός.
Πρόβλημα 1
Ίδιο με το πρόβλημα 2 της Α΄ Γυμνασίου.
Πρόβλημα 2
Τρεις φίλοι, οι και , έχουν από μια υπολογιστική μηχανή και αρχίζουν να κάνουν πράξεις ταυτόχρονα. Ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα προσθέτει , ο ξεκινά με τον αριθμό και σε κάθε βήμα αφαιρεί , ενώ ο ξεκινά με τον αριθμό και στο πρώτο βήμα προσθέτει , στο δεύτερο βήμα , στο τρίτο βήμα , κ.ο.κ. Αν ύστερα από βήματα οι τρεις φίλοι καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα, να βρείτε τον αριθμό .
Πρόβλημα 3
Ο Γιώργος χρωστά στον Γιάννη €. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί ο Γιώργος να ξεπληρώσει το χρέος του, χρησιμοποιώντας κέρματα του € και χαρτονομίσματα των € και €;
Σημείωση: Σε κάθε τρόπο μας ενδιαφέρει το πλήθος των νομισμάτων και όχι η σειρά με την οποία επιλέγονται π.χ. ένας τρόπος είναι « κέρματα του € και χαρτονομίσματα των €».
Πρόβλημα 4
(α) Να δείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ότι:
(β) Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι .
i. Να δείξετε ότι .
ii. Να δείξετε ότι ο είναι ακέραιος αριθμός.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017
Γ΄ Γυμνασίου
Πρόβλημα 1
Δίνονται θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε ο αριθμός να είναι ακέραιος και να ισχύει ότι:
Να βρείτε τον αριθμό .
Πρόβλημα 2
Στο πιο κάτω σχήμα το είναι τετράγωνο πλευράς και το είναι τόξο με κέντρο το και ακτίνα . Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα εφάπτεται στις πλευρές και στο τόξο .
(α) Να δείξετε ότι .
(β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής.
Πρόβλημα 3
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Πρόβλημα 4
Έστω ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι .
Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.
Πρόβλημα 1
Δίνονται θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε ο αριθμός να είναι ακέραιος και να ισχύει ότι:
Να βρείτε τον αριθμό .
Πρόβλημα 2
Στο πιο κάτω σχήμα το είναι τετράγωνο πλευράς και το είναι τόξο με κέντρο το και ακτίνα . Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα εφάπτεται στις πλευρές και στο τόξο .
(α) Να δείξετε ότι .
(β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής.
Πρόβλημα 3
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Πρόβλημα 4
Έστω ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι .
Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου αριθμού.
Σωτήρης Λοϊζιάς
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017
Από την ταυτότητα Euler είναι οπότε έχουμε διαδοχικά
Γεγονός που αποδεικνύει το ζητούμενο
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017
Έχουμε διαδοχικά:
διότι είναι οπότε .
Βέβαια οι αριθμοί δε παίζουν κανένα ρόλο. Μπορούμε να το κάνουμε με τέτοιους ώστε οπότε και θα ισχύει .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017
α) Έστω η ακτίνα του κύκλου. Με Πυθαγόρειο βρίσκω ότι καιSoteris έγραψε: ↑Δευ Δεκ 04, 2017 1:26 pmΓ΄ Γυμνασίου
Πρόβλημα 2
Στο πιο κάτω σχήμα το είναι τετράγωνο πλευράς και το είναι τόξο με κέντρο το και ακτίνα . Ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα εφάπτεται στις πλευρές και στο τόξο .
(α) Να δείξετε ότι .
(β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής
β) Έστω το ζητούμενο εμβαδόν, το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου και το εμβαδόν του κύκλου.
-
- Δημοσιεύσεις: 132
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 08, 2017 7:45 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Γυμνασίου, 2017
Α΄ Γυμνασίου
Πρόβλημα 2
Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο . Το είναι ύψος του τριγώνου , το είναι το μέσο του και το είναι σημείο του , ώστε το μήκος του να είναι διπλάσιο από το μήκος του . Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου .
Pagk_A2.png
Εφόσον το μήκος του είναι διπλάσιο από το μήκος του , το
Προσθέτουμε την βοηθητική γραμμή . Γνωρίζουμε ότι είναι το μέσο του επομένως
Πρόβλημα 2
Στο πιο κάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο . Το είναι ύψος του τριγώνου , το είναι το μέσο του και το είναι σημείο του , ώστε το μήκος του να είναι διπλάσιο από το μήκος του . Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι και το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου .
Pagk_A2.png
Εφόσον το μήκος του είναι διπλάσιο από το μήκος του , το
Προσθέτουμε την βοηθητική γραμμή . Γνωρίζουμε ότι είναι το μέσο του επομένως
- Συνημμένα
-
- Πρόβλημα 2.png (22.63 KiB) Προβλήθηκε 1444 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες