Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 (9η τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

LXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 - 9η τάξη

Πρόβλημα 1. Σε στρογγυλό τραπέζι ανά ίσα διαστήματα είναι τοποθετημένα γλυκά. Ο Γρηγόρης κινείται γύρο από το τραπέζι και τρώει κάθε τρίτο γλυκό που συναντάει (κάθε γλυκό μπορεί να συναντάται αρκετές φορές). Όταν στο τραπέζι δεν έμειναν γλυκά, παρατήρησε, ότι τελευταία πήρε το γλυκό, το οποίο συνάντησε πρώτο και έκανε ακριβώς 7 στροφές γύρω από το τραπέζι. Πόσα ήταν τα γλυκά;

Πρόβλημα 2. Σε τρίγωνο ABC

, όπου η γωνία

είναι ορθή και η γωνία

μικρότερη της γωνίας

, φέρουμε την διάμεσο

. Στην πλευρά

θεωρούμε σημείο

τέτοιο, ώστε $\angle ABM = \angle MBL$ . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου BML

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι AN=BL

.

Πρόβλημα 3. Για τους θετικούς αριθμούς a,b,c,d,e

είναι γνωστό, ότι

a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 = ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de

.

Αποδείξετε, ότι μεταξύ αυτών των αριθμών θα βρεθούν τρεις, τέτοιοι ώστε να μην υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών αυτούς τους αριθμούς.

Πρόβλημα 4. Να κόψετε το παρακάτω σχήμα σε δυο ίσα κομμάτια.

: mmo_2013_class9_pr4.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 1041 φορές

Πρόβλημα 5. Θα ονομάσουμε ένα σημείο του επιπέδου «κόμβο», αν και οι δυο συντεταγμένες του είναι ακέραιοι αριθμοί. Δίνεται τρίγωνο με τις κορυφές του σε κόμβους, στο εσωτερικό του οποίου είναι τοποθετημένοι τουλάχιστον δυο κόμβοι. Να αποδείξετε, ότι μεταξύ των κόμβων στο εσωτερικό του τριγώνου μπορούμε να διαλέξουμε τέτοιους δυο, ώστε η ευθεία που διέρχεται από αυτούς περιέχει μια από τις κορυφές του τριγώνου ή είναι παράλληλη προς μία από τις πλευρές του.

Πρόβλημα 6. Εκατό οπαδοί θέλουν να μεταβούν με τρένο 12 βαγονιών από την πρώτη στάση που είναι ο σύνδεσμός τους στην 76η που είναι το γήπεδο. Γνωρίζουν, ότι στην πρώτη στάση σε δυο από τα βαγόνια του τρένου βρίσκονται δυο ελεγκτές. Μετά την τέταρτη στάση σε κάθε επιβίβαση/αποβίβαση ένας από τους ελεγκτές μεταβαίνει σε διπλανό βαγόνι, εξάλλου οι ελεγκτές κινούνται με την σειρά. Ο οπαδός βλέπει τον ελεγκτή, μόνο όταν βρίσκεται σε διπλανό βαγόνι ή σε παραδιπλανό. Σε κάθε στάση κάθε οπαδός μπορεί (προλαβαίνει) να μετεπιβιβαστεί μέσο της πλατφόρμας το πολύ 3 βαγόνια μακρύτερα(για παράδειγμα, από το 7ο βαγόνι ο οπαδός μπορεί να μετεπιβιβαστεί σε οποιοδήποτε βαγόνι από το 4ο μέχρι το 10ο και να κάτσει σε αυτό). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός οπαδών που δεν θα βρεθεί ούτε μια φορά στο ίδιο βαγόνι με ελεγκτή, με οποιονδήποτε τρόπο και αν κινούνται οι ελεγκτές; (Άλλή πληροφόριση για τους ελεγκτές, πέραν αυτής που αναφέρει το πρόβλημα, οι οπαδοί δεν έχουν. Οι οπαδοί συνεννοούνται για την στρατηγική που θα ακολουθήσουν εκ τον προτέρων).

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2017 4:01 pm
LXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 - 9η τάξη

Πρόβλημα 2. Σε τρίγωνο , όπου η γωνία είναι ορθή και η γωνία μικρότερη της γωνίας , φέρουμε την διάμεσο . Στην πλευρά θεωρούμε σημείο τέτοιο, ώστε $\angle ABM = \angle MBL$ . Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει την πλευρά στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι .

: Μόσχα 2013(9.2).png (11.96 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

$\displaystyle AN \cdot AB = AM \cdot AL \Leftrightarrow AN \cdot c = \frac{b}{2} \cdot AL \Leftrightarrow \frac{b}{c} = \frac{{2AN}}{{AL}}$ (1)

Θεώρημα διχοτόμου στο ABL:

$\displaystyle \frac{{AM}}{{ML}} = \frac{{AB}}{{BL}} \Leftrightarrow \frac{b}{{2ML}} = \frac{c}{{BL}} \Leftrightarrow \frac{b}{c} = \frac{{2ML}}{{BL}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} AN \cdot BL = ML \cdot AL$ (2)

Αλλά, $\displaystyle B\widehat AM = M\widehat BL,$ άρα η

εφάπτεται στον περίκυκλο του ABM,

οπότε $\displaystyle B{L^2} = ML \cdot AL\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)}$ $\boxed{AN=BL}$

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 10, 2017 4:01 pm
LXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 - 9η τάξη

Πρόβλημα 3. Για τους θετικούς αριθμούς είναι γνωστό, ότι

.

Αποδείξετε, ότι μεταξύ αυτών των αριθμών θα βρεθούν τρεις, τέτοιοι ώστε να μην υπάρχει τρίγωνο με μήκη πλευρών αυτούς τους αριθμούς.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d \leqslant e$ . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι a+b > e

αφού σε διαφορετική περίπτωση τα μήκη a,b,e

δεν σχηματίζουν τρίγωνο. Τότε:

$\begin{aligned} ab+ac+ad+ae+bc+bd+cd+ce+de &> (a+b)(c+d+e) + cd + ce + de \\ &> e(c+d+e) + cd + ce + de \\ &> ec + ec + ed + de + e^2 \\ &\geqslant a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \end{aligned}$
άτοπο.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 (9η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 (9η τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2013 (9η τάξη)

Μέλη σε σύνδεση