Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Πρόβλημα 1
Δίνεται ένα σύνολο θετικών ακεραίων αριθμών , όπου είναι περιττός αριθμός με . Μπορούμε να δημιουργήσουμε μια σειρά νέων συνόλων με πλήθος στοιχείων τρία το κάθε ένα, έχοντας σε κάθε βήμα τις εξής δύο επιλογές, ξεκινώντας από το .
επιλογή
Για να πάρουμε το επιλέγουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό και τον προσθέτουμε σε δύο από τα στοιχεία του και το τρίτο στοιχείο του παραμένει το ίδιο και στο σύνολο . (Για παράδειγμα, αν επιλέξω , τότε το σύνολο μπορεί να είναι .)
επιλογή
Για να πάρουμε το , επιλέγουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό και τον προσθέτουμε σε ένα από τα στοιχεία του και τον αφαιρούμε από ένα άλλο από τα στοιχεία του , ενώ το τρίτο στοιχείο του παραμένει το ίδιο και στο σύνολο . (Για παράδειγμα, αν επιλέξω , τότε το σύνολο μπορεί να είναι .)
Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν με αυτή τη διαδικασία σε κάποιο βήμα να έχουμε το σύνολο .
Πρόβλημα 2
Δίνονται τα ψηφία . Να βρείτε το άθροισμα όλων των άρτιων τριψήφιων αριθμών που σχηματίζονται από αυτά τα ψηφία αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου.
Πρόβλημα 3
Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε .
Να αποδείξετε ότι:
(α) Για κάθε ακέραιο ισχύει:
(β) Τουλάχιστον τρεις από τους αριθμούς είναι ίσοι.
Πρόβλημα 4
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο . Με κέντρο το και ακτίνα γράφουμε κύκλο . Στο μεγαλύτερο από τα δύο τόξα του κύκλου παίρνουμε σημείο και φέρουμε τη χορδή . Η παράλληλη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Έστω τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα. Έστω σημείο έξω από τον κύκλο και πάνω στην ημιευθεία και ένα σημείο μέσα στον κύκλο, έτσι ώστε το να είναι κυρτό τετράπλευρο με και . Να αποδείξετε ότι:
(α) το τρίγωνο είναι ισόπλευρο
(β)
Δίνεται ένα σύνολο θετικών ακεραίων αριθμών , όπου είναι περιττός αριθμός με . Μπορούμε να δημιουργήσουμε μια σειρά νέων συνόλων με πλήθος στοιχείων τρία το κάθε ένα, έχοντας σε κάθε βήμα τις εξής δύο επιλογές, ξεκινώντας από το .
επιλογή
Για να πάρουμε το επιλέγουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό και τον προσθέτουμε σε δύο από τα στοιχεία του και το τρίτο στοιχείο του παραμένει το ίδιο και στο σύνολο . (Για παράδειγμα, αν επιλέξω , τότε το σύνολο μπορεί να είναι .)
επιλογή
Για να πάρουμε το , επιλέγουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό και τον προσθέτουμε σε ένα από τα στοιχεία του και τον αφαιρούμε από ένα άλλο από τα στοιχεία του , ενώ το τρίτο στοιχείο του παραμένει το ίδιο και στο σύνολο . (Για παράδειγμα, αν επιλέξω , τότε το σύνολο μπορεί να είναι .)
Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν με αυτή τη διαδικασία σε κάποιο βήμα να έχουμε το σύνολο .
Πρόβλημα 2
Δίνονται τα ψηφία . Να βρείτε το άθροισμα όλων των άρτιων τριψήφιων αριθμών που σχηματίζονται από αυτά τα ψηφία αν δεν επιτρέπεται η επανάληψη ψηφίου.
Πρόβλημα 3
Έστω θετικοί ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε .
Να αποδείξετε ότι:
(α) Για κάθε ακέραιο ισχύει:
(β) Τουλάχιστον τρεις από τους αριθμούς είναι ίσοι.
Πρόβλημα 4
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο . Με κέντρο το και ακτίνα γράφουμε κύκλο . Στο μεγαλύτερο από τα δύο τόξα του κύκλου παίρνουμε σημείο και φέρουμε τη χορδή . Η παράλληλη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Έστω τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα. Έστω σημείο έξω από τον κύκλο και πάνω στην ημιευθεία και ένα σημείο μέσα στον κύκλο, έτσι ώστε το να είναι κυρτό τετράπλευρο με και . Να αποδείξετε ότι:
(α) το τρίγωνο είναι ισόπλευρο
(β)
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
α) Η ανισότητα είναι άμεση: Μετά τις απλοποιήσεις ανάγεται στην προφανή
β) Πρώτα απ' όλα, λόγω της ισότητας, κανείς από τους δεν είναι ίσος με , οπότε όλοι είναι . Έστω κάθε όρος εμφανίζεται το πολύ δύο φορές και έστω ο μεγαλύτερος παρονομαστής. Τότε το αριστερό μέλος είναι
To τελευταίο είναι τηλεσκοπικό. Αν το γράψουμε κάθετα, μένουν τρεις όροι στην πάνω αριστερή γωνία και τρεις στην κάτω δεξιά. Μετά τις απλοποιήσεις δίνει , άτοπο.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Soteris έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2018 11:30 pmΠρόβλημα 4
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο . Με κέντρο το και ακτίνα γράφουμε κύκλο . Στο μεγαλύτερο από τα δύο τόξα του κύκλου παίρνουμε σημείο και φέρουμε τη χορδή . Η παράλληλη από το προς την τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Έστω τα μέσα των τμημάτων , αντίστοιχα. Έστω σημείο έξω από τον κύκλο και πάνω στην ημιευθεία και ένα σημείο μέσα στον κύκλο, έτσι ώστε το να είναι κυρτό τετράπλευρο με και . Να αποδείξετε ότι:
(α) το τρίγωνο είναι ισόπλευρο
(β)
α) Είναι κι επειδή το είναι μέσο του η είναι μεσοκάθετη του άρα
Από το ισόπλευρο είναι το είναι εγγράψιμο και
Άρα το είναι ισόπλευρο.
β) Ο κύκλος διέρχεται από τα σημεία και είναι άρα τα σημεία είναι
συνευθειακά. Η είναι μεσοκάθετη του οπότε
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Καταρχάς το άθροισμα των στοιχέιων του σύνολου είναι άρτιος (αφου ν είναι περιττός).Soteris έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2018 11:30 pmΠρόβλημα 1
Δίνεται ένα σύνολο θετικών ακεραίων αριθμών , όπου είναι περιττός αριθμός με . Μπορούμε να δημιουργήσουμε μια σειρά νέων συνόλων με πλήθος στοιχείων τρία το κάθε ένα, έχοντας σε κάθε βήμα τις εξής δύο επιλογές, ξεκινώντας από το .
επιλογή
Για να πάρουμε το επιλέγουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό και τον προσθέτουμε σε δύο από τα στοιχεία του και το τρίτο στοιχείο του παραμένει το ίδιο και στο σύνολο . (Για παράδειγμα, αν επιλέξω , τότε το σύνολο μπορεί να είναι .)
επιλογή
Για να πάρουμε το , επιλέγουμε έναν θετικό ακέραιο αριθμό και τον προσθέτουμε σε ένα από τα στοιχεία του και τον αφαιρούμε από ένα άλλο από τα στοιχεία του , ενώ το τρίτο στοιχείο του παραμένει το ίδιο και στο σύνολο . (Για παράδειγμα, αν επιλέξω , τότε το σύνολο μπορεί να είναι .)
Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν με αυτή τη διαδικασία σε κάποιο βήμα να έχουμε το σύνολο .
Στην επιλογή 1, τό άθροισμα των στοιχέιων του σύνολου είναι , δηλαδή δεν αλλάζεται.
Στην επιλογή 2, τό άθροισμα των στοιχέιων του σύνολου είναι , δηλαδή παραμένει άρτιος.
Άρα το άθροισμα των στοιχέιων του σύνολου είναι πάντα άρτιος.
Αλλά το άθροισμά των στοιχέιων του σύνολου είναι περριτός, δηλαδή το ζητούμενο είναι αδύνατο
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Γενικά έχουμε αριθμούς που τελιώνουν σε 0, αριθμούς που τελιώνουν σε 2 και αριθμούς που τελιώνουν σε 4 (ευκολά υπολογίζεται με την πολλαπλασιαστική αρχή)
Για τις μονάδες: Το άθροισμα είναι
Για τις δεκάδες το άθροισμα είναι και , δηλαδή είναι
Για τις εκατοντάδες το άθροισμα είναι
Άρα το άθροισμα όλων των άρτιων τριψήφιων αριθμών είναι
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2018
Datis-Kalali έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 25, 2018 11:32 amΓενικά έχουμε αριθμούς που τελιώνουν σε 0, αριθμούς που τελιώνουν σε 2 και αριθμούς που τελιώνουν σε 4 (ευκολά υπολογίζεται με την πολλαπλασιαστική αρχή)
Για τις μονάδες: Το άθροισμα είναι
Για τις δεκάδες το άθροισμα είναι και , δηλαδή είναι
Για τις εκατοντάδες το άθροισμα είναι
Άρα το άθροισμα όλων των άρτιων τριψήφιων αριθμών είναι
Datis, δες το ξανά. Υπάρχει θέμα με τις δεκάδες και τις εκατοντάδες. Π.χ. αφού βρήκες ότι υπάρχουν μόνο τέτοιοι αριθμοί, το άθροισμα των ψηφίων των δεκάδων δεν θα μπορούσε να υπερβεί το . Αρκετά μικρότερο από το που βρήκες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες