Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(a_\nu)_{\nu\in\mathbb{N}}$ με $\displaystyle{a_1=1, a_2=3}$ και για $\displaystyle{\nu\geqslant 3}$ ισχύει
$\displaystyle{a_\nu=max\{a_\rho+a_{\nu-\rho} : 1\leqslant \rho\leqslant\nu-1\}}$ .

Να αποδείξετε ότι:

(α) Ο γενικός όρος της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο:
$\displaystyle{a_\nu=\begin{cases} 3k,& \nu=2k \\ 3k+1,& \nu=2k+1\end{cases}, \forall k\in\mathbb{N}}$

β) $\displaystyle{a_{\nu+\mu}=a_\nu+a_\mu}$ αν και μόνον αν τουλάχιστον ένας από τους δείκτες $\displaystyle{\nu, \mu}$ είναι άρτιος.

Πρόβλημα 2

Δίνεται ένας φυσικός αριθμός $\displaystyle{n}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός $\displaystyle{m}$ , ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{n}$ και έχει ακριβώς $\displaystyle{n}$ θετικούς διαιρέτες.

Πρόβλημα 3

Δίνονται δύο κύκλοι $\displaystyle{c_1(O, R_1)}$ και $\displaystyle{c_2(K, R_2)}$ με $\displaystyle{R_2>R_1}$ , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $\displaystyle{M}$ . Από ένα σημείο $\displaystyle{A}$ του κύκλου $\displaystyle{c_2}$ που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{OK}$ φέρουμε τις εφαπτόμενες $\displaystyle{(\varepsilon_1 ), (\varepsilon_2)}$ προς τον κύκλο $\displaystyle{c_1}$ και έστω $\displaystyle{B, C}$ τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον $\displaystyle{c_1}$ . Οι ευθείες $\displaystyle{MB, MC}$ τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{c_2}$ ξανά στα σημεία $\displaystyle{E, Z}$ , αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{L}$ το σημείο τομής της ευθείας $\displaystyle{EZ}$ και της εφαπτομένης του κύκλου $\displaystyle{c_2}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{LM\perp OK}$ .

Πρόβλημα 4

Δίνονται $\displaystyle{2018}$ σύνολα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\displaystyle{64}$ από αυτά, έστω $\displaystyle{A_1, A_2, \ldots, A_{64}}$ , τέτοια ώστε να ισχύει
$\displaystyle{A_i\cup A_j\neq A_k}$ για κάθε $\displaystyle{i, j, k\in\{1, 2, \ldots, 64\}}$ με $\displaystyle{i\neq j, i\neq k, j\neq k}$ .

Δηλαδή η ένωση κάθε δύο από αυτά τα 64 σύνολα είναι ένα σύνολο διαφορετικό από κάθε άλλο από αυτά τα 64 σύνολα.

#2

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm
Πρόβλημα 2

Δίνεται ένας φυσικός αριθμός $\displaystyle{n}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει φυσικός αριθμός $\displaystyle{m}$ , ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{n}$ και έχει ακριβώς $\displaystyle{n}$ θετικούς διαιρέτες.

Ωραία ασκησούλα. Μάλλον κανείς δεν θα είχε πρόβλημα να την λύσει.

Γράφουμε $n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$ την ανάλυσή του σε πρώτους. Τότε ο $m= p_1^{ p_1^{a_1}-1}...p_k^{p_k^{a_k}-1}$ κάνει την δουλειά. καθώς

α) Είναι πολλαπλάσιο του

αφού $p_1^{a_1}-1 \ge a_1$ και όμοια για τους υπόλοιπους παράγοντες του

(άμεσο από Bernoulli: $p_1^{a_1}\ge (1+1)^ {a_1} \ge 1+a_1$ ). Επίσης,
β) το πλήθος των διαιρετών είναι $\displaystyle{n=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}}$ με χρήση του τύπου ότι το πλήθος των διαιρετών του $\displaystyle{m= p_1^{b_1}...p_k^{b_k}}$ είναι $\displaystyle{(b_1+1)...(b_k+1)}$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm
Πρόβλημα 3

Δίνονται δύο κύκλοι $\displaystyle{c_1(O, R_1)}$ και $\displaystyle{c_2(K, R_2)}$ με $\displaystyle{R_2>R_1}$ , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $\displaystyle{M}$ . Από ένα σημείο $\displaystyle{A}$ του κύκλου $\displaystyle{c_2}$ που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{OK}$ φέρουμε τις εφαπτόμενες $\displaystyle{(\varepsilon_1 ), (\varepsilon_2)}$ προς τον κύκλο $\displaystyle{c_1}$ και έστω $\displaystyle{B, C}$ τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον $\displaystyle{c_1}$ . Οι ευθείες $\displaystyle{MB, MC}$ τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{c_2}$ ξανά στα σημεία $\displaystyle{E, Z}$ , αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{L}$ το σημείο τομής της ευθείας $\displaystyle{EZ}$ και της εφαπτομένης του κύκλου $\displaystyle{c_2}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{LM\perp OK}$ .

: Β-Παγκύπριος Επιλογής Seniors 2018 - 3.png (42.06 KiB) Προβλήθηκε 1312 φορές

Πρέπει η

να είναι εφαπτόμενη του c_2

. Επομένως αρκεί το τετράπλευρο MEAZ

να είναι αρμονικό, καθώς σε αυτή την περίπτωση από γνωστό λήμμα θα ξέρουμε πως οι εφαπτόμενες από το

και το

θα τέμνονται πάνω στην

.

Έστω ότι η

τέμνει τον c_1

ξανά στο σημείο

. Παρατηρούμε πως το τετράπλευρο MBFC

είναι αρμονικό, καθώς οι εφαπτόμενες από το

και

στον

τέμνονται πάνω στην

(δηλαδή στο

).

Τέλος παρατηρούμε πως μια ομοιοθεσία και μια στροφή 180^o

(αυτό λέγεται ομοιότητα) με κέντρο το

μεταφέρει τον c_1

στον

και αντίστροφα.

Με αυτό τον μετασχηματισμό το

πάει στο

, το

πάει στο

και το

πάει στο

.

Σύμφωνα λοιπόν με τις ιδιότητες της ομοιότητας τα τετράπλευρα MBFC

και

είναι όμοια. Άρα αφού το MBFC

είναι αρμονικό, είναι και το MEAZ

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm
Πρόβλημα 1

Δίνεται η ακολουθία $\displaystyle{(a_\nu)_{\nu\in\mathbb{N}}$ με $\displaystyle{a_1=1, a_2=3}$ και για $\displaystyle{\nu\geqslant 3}$ ισχύει
$\displaystyle{a_\nu=max\{a_\rho+a_{\nu-\rho} : 1\leqslant \rho\leqslant\nu-1\}}$ .

Να αποδείξετε ότι:

(α) Ο γενικός όρος της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο:
$\displaystyle{a_\nu=\begin{cases} 3k,& \nu=2k \\ 3k+1,& \nu=2k+1\end{cases}, \forall k\in\mathbb{N}}$

β) $\displaystyle{a_{\nu+\mu}=a_\nu+a_\mu}$ αν και μόνον αν τουλάχιστον ένας από τους δείκτες $\displaystyle{\nu, \mu}$ είναι άρτιος.

α)

Θα το αποδείξουμε με επαγωγή:

Για $\nu=2\cdot0+1=1$ είναι $a_1=3\cdot0+1=1$ και για $\nu=2\cdot1=2$ είναι $a_2=3\cdot1=3$

Έστω ότι μέχρι κάποιο $k\in\mathbb{N}$ ισχύει ότι:

$\displaystyle{a_\nu=\begin{cases} 3k,& \nu=2k \\ 3k+1,& \nu=2k+1\end{cases}$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{a_\nu=\begin{cases} 3(k+1),& \nu=2(k+1) \\ 3(k+1)+1,& \nu=2(k+1)+1\end{cases}}$

Έχουμε:

1η περίπτωση, αν $\nu=2(k+1)$ τότε:

Αν το $\rho$ είναι άρτιος, έστω $\rho=2m$ έχουμε:
$a_\rho+a_{2(k+1)-\rho} = a_{2m}+a_{2(k+1)-2m} = a_{2m}+a_{2(k+1-m)}=3m+3(k+1-m)=3k+3$

Αν το $\rho$ είναι περιττός, έστω $\rho=2m+1$ έχουμε:
$a_\rho+a_{2(k+1)-\rho} = a_{2m+1}+a_{2(k+1)-(2m+1)} = a_{2m+1}+a_{2(k-m)+1}=3m+1+3(k-m)+1=3k+2$

Άρα $a_\nu=max\{3k+3, 3k+2\} = 3k+3=3(k+1)$

2η περίπτωση, αν $\nu=2(k+1)+1$ τότε:

Αν το $\rho$ είναι άρτιος, έστω $\rho=2m$ έχουμε:
$a_\rho+a_{2(k+1)+1-\rho} = a_{2m}+a_{2(k+1)+1-2m} = a_{2m}+a_{2(k+1-m)+1}=3m+3(k+1-m)+1=3k+4$

Αν το $\rho$ είναι περιττός, έστω $\rho=2m+1$ έχουμε:
$\displaystyle{a_\rho+a_{2(k+1)+1-\rho} = a_{2m+1}+a_{2(k+1)+1-(2m+1)} = a_{2m+1}+a_{2(k+1-m)}=3m+1+3(k+1-m)=3k+4}$

Άρα $a_\nu=max\{3k+4, 3k+4\} = 3k+4=3(k+1)+1$

Επομένως η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

β)

Αν και οι δύο δείκτες $\displaystyle{\nu, \mu}$ είναι άρτιοι, έστω $\nu=2m, \mu=2n$ έχουμε:

$a_{\nu+\mu}=a_{2m+2n}=a_{2(m+n)}=3(m+n)= 3m+3n=a_{2m}+a_{2n}=a_\nu+a_\mu$

Αν ο ένας δείκτης είναι άρτιος και ο άλλος περιττός, θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $\nu=2m, \mu=2n+1$ έχουμε:

$a_{\nu+\mu}=a_{2m+2n+1}=a_{2(m+n)+1}=3(m+n)+1= 3m+3n+1=a_{2m}+a_{2n+1}=a_\nu+a_\mu$

Αν και οι δύο δείκτες $\displaystyle{\nu, \mu}$ είναι περιττοί, έστω $\nu=2m+1, \mu=2n+1$ έχουμε:

$a_{\nu+\mu}=a_{2m+1+2n+1}=a_{2(m+n+1)}=3(m+n+1)= 3m+3n+3$

$a_\nu+a_\mu = a_{2m+1}+a_{2n+1}=3m+1+3n+1=3m+3n+2$

Άρα $a_{\nu+\mu} \neq a_\nu+a_\mu$

Επομένως, από όλες αυτές τις περιπτώσεις, προκύπτει το ζητούμενο.

#5

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm

Πρόβλημα 3

Δίνονται δύο κύκλοι $\displaystyle{c_1(O, R_1)}$ και $\displaystyle{c_2(K, R_2)}$ με $\displaystyle{R_2>R_1}$ , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $\displaystyle{M}$ . Από ένα σημείο $\displaystyle{A}$ του κύκλου $\displaystyle{c_2}$ που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{OK}$ φέρουμε τις εφαπτόμενες $\displaystyle{(\varepsilon_1 ), (\varepsilon_2)}$ προς τον κύκλο $\displaystyle{c_1}$ και έστω $\displaystyle{B, C}$ τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον $\displaystyle{c_1}$ . Οι ευθείες $\displaystyle{MB, MC}$ τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{c_2}$ ξανά στα σημεία $\displaystyle{E, Z}$ , αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{L}$ το σημείο τομής της ευθείας $\displaystyle{EZ}$ και της εφαπτομένης του κύκλου $\displaystyle{c_2}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{LM\perp OK}$ .

Αυτή η ωραία άσκηση είναι από το Βιετνάμ 2003. Βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ, σελ 210.

#6

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm

Πρόβλημα 4

Δίνονται $\displaystyle{2018}$ σύνολα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\displaystyle{64}$ από αυτά, έστω $\displaystyle{A_1, A_2, \ldots, A_{64}}$ , τέτοια ώστε να ισχύει
$\displaystyle{A_i\cup A_j\neq A_k}$ για κάθε $\displaystyle{i, j, k\in\{1, 2, \ldots, 64\}}$ με $\displaystyle{i\neq j, i\neq k, j\neq k}$ .

Δηλαδή η ένωση κάθε δύο από αυτά τα 64 σύνολα είναι ένα σύνολο διαφορετικό από κάθε άλλο από αυτά τα 64 σύνολα.

To επιχείρημα στη σελίδα 77 εδώ δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα. https://users.renyi.hu/~p_erdos/1972-09.pdf
Να σημειώσω ότι το 2010 αποδείχθηκε από τους Fox, Lee, Sudakov ότι αν έχουμε μια οικογένεια με

σύνολα, τότε μπορούμε να βρούμε υποοικογένεια από $\sqrt{4m+1}-1$ σύνολα με την ιδιότητα η ένωση οποιονδήποτε δύο συνόλων της υποοικογένειας να μην ανήκει στην υποοικογένεια. Το αποτέλεσμα αυτό είναι βέλτιστο.
http://math.mit.edu/~cb_lee/resource/union-free.pdf

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #7

silouan έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 26, 2018 12:26 am

Soteris έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 24, 2018 11:46 pm

Πρόβλημα 3

Δίνονται δύο κύκλοι $\displaystyle{c_1(O, R_1)}$ και $\displaystyle{c_2(K, R_2)}$ με $\displaystyle{R_2>R_1}$ , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $\displaystyle{M}$ . Από ένα σημείο $\displaystyle{A}$ του κύκλου $\displaystyle{c_2}$ που δεν βρίσκεται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{OK}$ φέρουμε τις εφαπτόμενες $\displaystyle{(\varepsilon_1 ), (\varepsilon_2)}$ προς τον κύκλο $\displaystyle{c_1}$ και έστω $\displaystyle{B, C}$ τα αντίστοιχα σημεία επαφής τους με τον $\displaystyle{c_1}$ . Οι ευθείες $\displaystyle{MB, MC}$ τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{c_2}$ ξανά στα σημεία $\displaystyle{E, Z}$ , αντίστοιχα. Έστω $\displaystyle{L}$ το σημείο τομής της ευθείας $\displaystyle{EZ}$ και της εφαπτομένης του κύκλου $\displaystyle{c_2}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{LM\perp OK}$ .
Αυτή η ωραία άσκηση είναι από το Βιετνάμ 2003. Βρίσκεται και στο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ, σελ 210.

Από ό,τι βλέπω κι εγώ, πράγματι είναι η άσκηση αυτή! Βέβαια η λύση που έδωσα είναι διαφορετική.

Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2018

Μέλη σε σύνδεση