Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 1η)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1810
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 1η)
XLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη.
1. Ο αριθμός είναι τέτοιος, ώστε και να είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός είναι ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. (Ν. Αγκαχάνοβ)
2. μαθητές έχουν μια τράπουλα καρτών, οι οποίες είναι αριθμημένες με τους αριθμούς από έως . Ο πρώτος μαθητής ανακατεύει την τράπουλα, ύστερα επιλέγει από την κορυφή της ανακατεμένης τράπουλας μια κάρτα και με κάθε επιλογή κάρτας (συμπεριλαμβανομένης της πρώτης) γράφει στον πίνακα τον αριθμητικό μέσο των αριθμών όλων των καρτών που έχει διαλέξει την δεδομένη στιγμή. Έτσι αυτός γράφει αριθμούς και όταν στην τράπουλα απομείνει μια κάρτα, τότε ξανά τοποθετεί της κάρτες στην τράπουλα, στην συνέχεια γίνεται το ίδιο, ξεκινώντας από το ανακάτεμα της τράπουλας, από τον δεύτερο μαθητή. Ύστερα ο τρίτος μαθητής, κ.ο.κ . Να αποδείξετε, ότι μεταξύ των γραμμένων στον πίνακα αριθμών θα βρεθούν δυο ίδιοι. (Α. Γκριμπάλκο)
3. Σε κάθε γραμμή ενός πίνακα με κάποια σειρά είναι τοποθετημένοι οι αριθμοί από το έως το , οι αριθμοί στην γραμμή δεν επαναλαμβάνονται (ο πίνακας έχει γραμμές και στήλες). Επιτρέπεται να ανταλλάξουμε την θέση δυο αριθμών σε μια γραμμή, που διαφέρουν κατά , αν δεν είναι γειτονικοί. Προέκυψε ότι με την βοήθεια τέτοιων πράξεων δεν μπορούμε να λάβουμε δυο ίδιες γραμμές. Για ποιο μέγιστο αυτό είναι δυνατό; (Μ. Αντίποβ)
4. Ο κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από το τρίγωνο , στο οποίο . Οι διχοτόμοι του τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Από το μέσο της πλευράς προς την ευθεία φέρουμε την κάθετο . Οι ευθείες , και ορίζουν (οριοθετούν) το τρίγωνο και οι ευθείες , και ορίζουν το τρίγωνο . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και επανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι το σημείο βρίσκεται πάνω στην ευθεία . (Α. Κουζνέτσοβ)
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη.
1. Ο αριθμός είναι τέτοιος, ώστε και να είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός είναι ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. (Ν. Αγκαχάνοβ)
2. μαθητές έχουν μια τράπουλα καρτών, οι οποίες είναι αριθμημένες με τους αριθμούς από έως . Ο πρώτος μαθητής ανακατεύει την τράπουλα, ύστερα επιλέγει από την κορυφή της ανακατεμένης τράπουλας μια κάρτα και με κάθε επιλογή κάρτας (συμπεριλαμβανομένης της πρώτης) γράφει στον πίνακα τον αριθμητικό μέσο των αριθμών όλων των καρτών που έχει διαλέξει την δεδομένη στιγμή. Έτσι αυτός γράφει αριθμούς και όταν στην τράπουλα απομείνει μια κάρτα, τότε ξανά τοποθετεί της κάρτες στην τράπουλα, στην συνέχεια γίνεται το ίδιο, ξεκινώντας από το ανακάτεμα της τράπουλας, από τον δεύτερο μαθητή. Ύστερα ο τρίτος μαθητής, κ.ο.κ . Να αποδείξετε, ότι μεταξύ των γραμμένων στον πίνακα αριθμών θα βρεθούν δυο ίδιοι. (Α. Γκριμπάλκο)
3. Σε κάθε γραμμή ενός πίνακα με κάποια σειρά είναι τοποθετημένοι οι αριθμοί από το έως το , οι αριθμοί στην γραμμή δεν επαναλαμβάνονται (ο πίνακας έχει γραμμές και στήλες). Επιτρέπεται να ανταλλάξουμε την θέση δυο αριθμών σε μια γραμμή, που διαφέρουν κατά , αν δεν είναι γειτονικοί. Προέκυψε ότι με την βοήθεια τέτοιων πράξεων δεν μπορούμε να λάβουμε δυο ίδιες γραμμές. Για ποιο μέγιστο αυτό είναι δυνατό; (Μ. Αντίποβ)
4. Ο κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από το τρίγωνο , στο οποίο . Οι διχοτόμοι του τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Από το μέσο της πλευράς προς την ευθεία φέρουμε την κάθετο . Οι ευθείες , και ορίζουν (οριοθετούν) το τρίγωνο και οι ευθείες , και ορίζουν το τρίγωνο . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και επανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι το σημείο βρίσκεται πάνω στην ευθεία . (Α. Κουζνέτσοβ)
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13301
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 1η)
ΈστωAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2023 9:33 pmXLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη.
1. Ο αριθμός είναι τέτοιος, ώστε και να είναι ρητοί αριθμοί. Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός είναι ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. (Ν. Αγκαχάνοβ)
Ομοίως, αν βρίσκω όπου ακέραιοι.
Αν θέσω και αντικαταστήσω στην ταυτότητα καταλήγω στην εξίσωση
που αποδεικνύει το ζητούμενο.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (τάξη 11η, μέρα 1η)
Έστω , τότε και ας είναι το οποίο προφανώς είναι το μέσο του τόξου του κύκλου που δεν περιέχει το (αφού η ευθεία της διχοτόμου της γωνίας του )Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2023 9:33 pmXLIX Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα
Εκπαιδευτικό κέντρο «Σείριος», Σότσι 21-27 Απριλίου 2023
Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη.
4. Ο κύκλος είναι περιγεγραμμένος γύρω από το τρίγωνο , στο οποίο . Οι διχοτόμοι του τριγώνου τέμνονται στο σημείο . Από το μέσο της πλευράς προς την ευθεία φέρουμε την κάθετο . Οι ευθείες , και ορίζουν (οριοθετούν) το τρίγωνο και οι ευθείες , και ορίζουν το τρίγωνο . Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και επανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι το σημείο βρίσκεται πάνω στην ευθεία . (Α. Κουζνέτσοβ)
Είναι
ομοκυκλικά , οπότε και συνεπώς η διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του ως προς τον
Με όμοιο τρόπο ( ομοκυκλικά άρα διέρχεται από το
Με το μέσο του τόξου (που δεν περιέχει το ) προφανώς η διάμετρος του διέρχεται (και είναι και κάθετη (μεσοκάθετη)) από το μέσο της χορδής Επίσης είναι ομοκυκλικά , άρα από το θεώρημα των τεμνομένων χορδών στον εν λόγω περίκυκλο θα έχουμε: και σύμφωνα με το αντίστροφο του θεωρήματος των τεμνομένων χορδών τα σημεία είναι ομοκυκλικά, άρα
και συνεπώς τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια (ορθογώνια με μια οξεία γωνία ίση) , άρα και
Έτσι έχουμε: και με συνευθειακά προκύπτει ότι και συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες