Ένα Λήμμα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

2nisic · #2

Έστω

η προβολή του

στην

και $S=IP\cap (ABC)$ .
Θα δείξουμε ότι S,A,E,I,F

ομοκυκλικα και ότι S,D,M

συνευθειακα.
Θεωρούμε την αντιστροφή ως προς τον εγγεγραμμένο κύκλο τότε τα A,B,C

πηγαίνουν στα μέσα των EF,FD,DE

οπότε ο

πηγαινει στον κύκλο του Euler του [unparseable or potentially dangerous latex formula] επειδή

ανήκει στον (ABC)

θα έχουμε ότι το $S=IP\cap (A'B'C')=P$ .
Επειδή τώρα E,P,A',F

ειναι συνευθειακα τα E,F,S,A

θα είναι ομοκυκλικα αρα και τα S,A,E,I,F

.
Το

είναι το κέντρο της spiral similarity που στέλνει την

στην

οπότε θα έχουμε:
$\frac{BS}{BF}=\frac{CS}{CE}\Leftrightarrow \frac{BS}{BD}=\frac{CS}{CD}$
Που δίνει ότι

διχοτόμος της <BSC

και αρα

συνευθειακα.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

Dimessi · #4

Κάπως πιο άμεσα. Θα αποδείξουμε πρώτα ότι $\angle ATI=90^\circ$ και θα έχουμε το πρώτο ζητούμενο.
Όμως $\displaystyle \textup{Pow}\left ( M,\gamma _{\alpha } \right )=MB^{2}=MI^{2}$ , όπου $\gamma _{\alpha }$ ο κύκλος $\left ( ITD \right ).$
Οπότε η ευθεία

είναι εφαπτομένη του $\gamma _{\alpha }$ από όπου λαμβάνουμε $\displaystyle \angle ITD=\angle MID=\angle CID-\angle CIM=\left ( 90^\circ-\frac{\angle C}{2} \right )-\frac{\angle A+\angle C}{2}=90^\circ-\frac{\angle A}{2}-\angle C.$
Έπεται ότι $\displaystyle \angle ATI=\angle ATM-\angle ITD=\angle ABM-\angle ITD=\left (\angle B+ \frac{\angle A}{2} \right )-\left ( 90^\circ-\angle C-\frac{\angle A}{2} \right )$
ή ισοδύναμα $\displaystyle \angle ATI=90^\circ$ και το πρώτο ζητούμενο δείχθηκε.
Θα αποδείξουμε τώρα και το δεύτερο ζητούμενο. Παρατηρούμε ότι τα σημεία A,T,F,I,E

ανήκουν στον κύκλο διαμέτρου

, αφού $\angle ATI=\angle AFI=\angle AEI=90^\circ.$ Παίρνουμε $\angle PIE=180^\circ-\angle TAE=180^\circ-\angle TAC=\angle DMC$ και $\angle FIP=\angle FAT=\angle BMD.$
Σε συνδυασμό με τις ισότητες γωνιών $\angle IFP=\angle IEP=\angle MBD=\angle MCD$ , λαμβάνουμε τελικά ότι $\displaystyle FIP\sim BMD$ και $EIP\sim DMC$ που θα δώσουν $\displaystyle \frac{FP}{BD}=\frac{IF}{BM}$ και $\displaystyle \frac{DC}{EP}=\frac{MC}{EI}.$
Έχουμε λοιπόν $\displaystyle \frac{FP}{BD}=\frac{EP}{DC}\Leftrightarrow \frac{FP}{FB}=\frac{EP}{CP}$ και λόγω του ότι $\angle BFP=\angle CEP$ , έπεται ότι $BFP\sim CEP$ .
Από το τελευταίο συμπέρασμα έπονται $\displaystyle \frac{BP}{PC}=\frac{BF}{EC}=\frac{BD}{DC}$ που δίνει ότι η ευθεία

είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle BPC$ , καθώς και $\angle BPF=\angle EPC.$
Θέτοντας τώρα $\angle BPF=\angle EPC=\alpha$ και $\angle BPD=\angle CPD=\beta$ , θα πάρουμε $2\alpha +2\beta =180^\circ\Leftrightarrow \alpha +\beta =90^\circ$ , από όπου και το ζητούμενο.

giannimani · #5

: lemma_sol.png (70.83 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές

Θεωρούμε τον κύκλο διαμέτρου

που τέμνει τον κύκλο (ABC)

στο σημείο

.
Προφανώς $\angle AT'I =90^{\circ}$ . Αν αποδείξουμε ότι τα σημεία

,

και

ανήκουν στην ίδια ευθεία,
τότε $T'\equiv T$ .
Τα τρίγωνα T'BF

και

είναι όμοια ( $\angle TBF=\angle T'BA=\angle T'CA=\angle T'CE$ και
$\angle TFB=\angle TEC$ ως παραπληρώματα των ίσων γωνιών T'FA

και

).
Επομένως, $\frac{T'B}{T'C}=\frac{BF}{CE} \quad (1)$
Αλλά, BF=BD

και $CE=CD \qquad (2)$
Η (1)

λόγω των

γίνεται $\frac{T'B}{T'C}=\frac{BD}{CD}$ , δηλαδή, η T'D

διχοτόμος της εγγεγραμμένης γωνίας
στον κύκλο (ABC)

, οπότε η ευθεία T'D

θα περάσει από το μέσο

του τόξου

,
δηλαδή, το αποδεικτέο. Άμεσα προκύπτει ότι το

αντιδιαμετρικό του

.

Έστω τώρα ότι οι παράλληλες ευθείες

και

(αμφότερες κάθετες στην

) τέμνουν
την ευθεία;

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Τότε, $\angle PLD=\angle BKM \quad (3)$ (εντός εναλλάξ).
Αλλά, $\angle BKM=\frac{\smile \; BM - \smile \; CS}{2}=\frac{\smile \; CM - \smile \; CS}{2}=\frac{\smile\; MS}{2}=\angle MTS \quad (4)$
Από τις (3)

και

έχουμε ότι $\angle PLD = \angle DTP$ , οπότε το τετράπλευρο TPDL

εγγράψιμο.
Είναι όμως γνωστό ότι η τετράδα (B,C; D,L)

είναι αρμονική $\Longrightarrow$ η δέσμη (TB,TC;TD,TL)

είναι αρμονική, και εφόσον η

διχοτόμος της γωνίας BTC

, από γνωστό λήμμα $\angle LTD=90^{\circ}$ ,
οπότε και $\angle LPD=90^{\circ}$ , δηλαδή, $PD \bot EF$ .

Ένα Λήμμα

Ένα Λήμμα

Re: Ένα Λήμμα

Re: Ένα Λήμμα

Re: Ένα Λήμμα

Re: Ένα Λήμμα

Μέλη σε σύνδεση