Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1810
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση.
Θέματα της 2ης μέρας για την 10η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024.
1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς τέτοιους, ώστε . Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου; (Π. Κοζέβνικοβ, Άγνωστος)
2. Η Αθηνά ισχυρίζεται, ότι έγραψε διαδοχικούς φυσικούς (μη μηδενικούς) αριθμούς και της προέκυψε, ότι μεταξύ όλων των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτούς τους αριθμούς, το κάθε ψηφίο (από το έως το ) συναντάται τον ίδιο αριθμό φορών. Μπορεί άραγε ο ισχυρισμός της Αθηνάς να αληθεύει; (Π. Κοζέβνικοβ)
3. Δίνεται ένα τετράπλευρο , στο οποίο . Είναι γνωστό, ότι οι κορυφές και μαζί με τα μέσα των πλευρών και είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι κορυφές και μαζί με τα μέσα των πλευρών και θα είναι επίσης ομοκυκλικά. (Α. Κουζνέτσοβ)
4. Να βρείτε όλες τις τριάδες (όχι απαραίτητα διαφορετικών) μη μηδενικών φυσικών αριθμών τέτοιων, ώστε κάθε ένας εκ των αριθμών να είναι πρώτος διαιρέτης του αριθμού . (Α. Τσιρόνοβ, Ι. Μπογκντάνοβ)
5. Καθένας εκ των ατόμων είναι είτε ιππότης, είτε αυλικός. Μερικοί από αυτούς είναι φίλοι μεταξύ τους, η φιλία είναι αμοιβαία. Τον καθέναν τους τον ρώτησαν για τον αριθμό των φίλων του, και όλες οι απαντήσεις προέκυψαν διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί από το έως το . Είναι γνωστό, ότι όλοι οι ιππότες έδωσαν αληθή απάντηση στην ερώτηση, αλλά όλοι οι αυλικοί άλλαξαν την αληθή απάντηση ακριβώς κατά . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός αυλικών, που μπορεί να υπάρξει μεταξύ αυτών των ατόμων; (Ια. Σούμπιν, Γκ. Σούμπιν)
Θέματα της 2ης μέρας για την 10η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024.
1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς τέτοιους, ώστε . Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου; (Π. Κοζέβνικοβ, Άγνωστος)
2. Η Αθηνά ισχυρίζεται, ότι έγραψε διαδοχικούς φυσικούς (μη μηδενικούς) αριθμούς και της προέκυψε, ότι μεταξύ όλων των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτούς τους αριθμούς, το κάθε ψηφίο (από το έως το ) συναντάται τον ίδιο αριθμό φορών. Μπορεί άραγε ο ισχυρισμός της Αθηνάς να αληθεύει; (Π. Κοζέβνικοβ)
3. Δίνεται ένα τετράπλευρο , στο οποίο . Είναι γνωστό, ότι οι κορυφές και μαζί με τα μέσα των πλευρών και είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι κορυφές και μαζί με τα μέσα των πλευρών και θα είναι επίσης ομοκυκλικά. (Α. Κουζνέτσοβ)
4. Να βρείτε όλες τις τριάδες (όχι απαραίτητα διαφορετικών) μη μηδενικών φυσικών αριθμών τέτοιων, ώστε κάθε ένας εκ των αριθμών να είναι πρώτος διαιρέτης του αριθμού . (Α. Τσιρόνοβ, Ι. Μπογκντάνοβ)
5. Καθένας εκ των ατόμων είναι είτε ιππότης, είτε αυλικός. Μερικοί από αυτούς είναι φίλοι μεταξύ τους, η φιλία είναι αμοιβαία. Τον καθέναν τους τον ρώτησαν για τον αριθμό των φίλων του, και όλες οι απαντήσεις προέκυψαν διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί από το έως το . Είναι γνωστό, ότι όλοι οι ιππότες έδωσαν αληθή απάντηση στην ερώτηση, αλλά όλοι οι αυλικοί άλλαξαν την αληθή απάντηση ακριβώς κατά . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός αυλικών, που μπορεί να υπάρξει μεταξύ αυτών των ατόμων; (Ια. Σούμπιν, Γκ. Σούμπιν)
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου είναι ψευδής.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 10, 2024 4:52 pm1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς τέτοιους, ώστε . Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου; (Π. Κοζέβνικοβ, Άγνωστος)
Πράγματι, παρατηρώ πως:
με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν . Επομένως:
με την ισότητα να ισχύει όταν , πράγμα άτοπο, αφού οι , , είναι διαφορετικοί ανά δύο.
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Ίσως να μην έχω καταλάβει κάτι στο παρακάτω αλλά ένα παράδειγμα είναι ο .
Κάτι μάλλον απλοϊκό για διαγωνισμό.
Κάτι μάλλον απλοϊκό για διαγωνισμό.
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 10, 2024 4:52 pm2. Η Αθηνά ισχυρίζεται, ότι έγραψε διαδοχικούς φυσικούς (μη μηδενικούς) αριθμούς και της προέκυψε, ότι μεταξύ όλων των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτούς τους αριθμούς, το κάθε ψηφίο (από το έως το ) συναντάται τον ίδιο αριθμό φορών. Μπορεί άραγε ο ισχυρισμός της Αθηνάς να αληθεύει; (Π. Κοζέβνικοβ)
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Καλησπέρα.
Ακριβέστερα έχουμε τους διαδοχικούς . Τα ψηφία χρησιμοποιούνται στην αρχή σε κάθε έναν από τους αριθμούς, ενώ καθένα από αυτά εμφανίζεται άλλη μια φορά ως τελευταίο ψηφίο. Δηλαδή όλα χρησιμοποιούνται από φορές συνολικά.
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Ευχαριστώ τώρα το καταλαβα. Δηλαδή είναι οι Χ0,Χ1,Χ2,Χ3,Χ4,Χ5,Χ6,Χ7,Χ8,Χ9 όπου .
Αλλά είναι μόνο αυτός η βάση η όλοι οι συνδυασμοί των ψηφίων απο 0 έως 9 χωρίς το 0 στην πρώτη θέση...?
Αλλά είναι μόνο αυτός η βάση η όλοι οι συνδυασμοί των ψηφίων απο 0 έως 9 χωρίς το 0 στην πρώτη θέση...?
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Φυσικά και η δεν είναι μοναδική επιλογή για το . Όπως σωστά γράφετε μπορούμε να αναδιατάξουμε τα
ψηφία , με τρόπο ώστε το να μη βρίσκεται στην πρώτη θέση. Παραδείγματος χάριν .
Στην πραγματικότητα, υπάρχουν άπειρες ακόμα επιλογές για το : μπορούμε να επαναλάβουμε αυτήν τη δεκάδα ψηφίων
όσες φορές θέλουμε. Για παράδειγμα ή .
Ενδιαφέρον έχει τώρα το ερώτημα (δεν έχω απάντηση) αν όλα τα παραδείγματα είναι αυτής της μορφής, δηλαδή για κατάλληλο (ή ισοδύναμα της μορφής ).
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)
Λοιπόν, η απάντηση είναι θετική. Συγκεκριμένα, αν τέτοιο ώστε στη δεκαδική αναπαράσταση (χωρίς μηδενικά στην αρχή)
των να εμφανίζεται κάθε ψηφίο ίδιο αριθμό φορών με κάθε άλλο, τότε , για .
Η απόδειξη που έχω κατά νου είναι αρκετά απλή στην ιδέα αλλά λίγο άκομψη. Θα τη γράψω, αν μου ζητηθεί.
Σημειώνω ότι από το παραπάνω εύκολα βρίσκουμε τη "μορφή" του και παίρνουμε χαρακτηρισμό για το .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες