Putnam 1990/A2

#1

Είναι ο αριθμός $\sqrt{2}$ όριο ακολουθίας αριθμών της μορφής $\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}$ ;

#2

Βοήθεια:

Κοιτάξτε την διαμέριση

$\displaystyle{ [0,\sqrt[3]{m}] = \bigcup_{k=m}^{8m-1} [ \sqrt[3]{k} - \sqrt[3]{m}, \sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{m}]}$

panagiotis99 · #3

Καλησπέρα Κύριε Δημήτρη νομίζω πως έχω μια λύση

Καταρχήν από την ταυτότητα x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

έχουμε

$\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}=\frac{1}{\sqrt[3]{(n+1)^2+\sqrt[3]{(n+1)n}+\sqrt[3]{n^2}}}$

Άρα για μεγάλα

,
$\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n} \rightarrow 0$

Άρα υπάρχουν "πολλοι" αριθμοί της μορφής $\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}$ που τείνουν στο

Aκόμη $c(\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m})=\sqrt[3]{c^3n}-\sqrt[3]{c^3m}$

Έπεται ότι το σύνολο των αριθμών αυτής της μορφής είναι κλειστό στην πράξη του πολλαπλασιασμού

.

Άρα προκύπτει ότι το σύνολο των αριθμών της μορφής $\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{m}$ είναι πυκνό στο διάστημα $[0, \infty)$

Άρα κάθε θετικός πραγματικός είναι όριο της ακολουθίας και το ζητούμενο δείχθηκε.

Επειδή είναι πρώτη φορά που λύνω τέτοιες ασκήσεις ελπίζω να μην γράφω αερολογίες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Παναγιώτη η λύση σου είναι σωστή.
Μάλιστα η απόδειξη σου δίνει ότι αυτό το σύνολο αριθμών είναι πυκνό στους πραγματικούς.
Θα ήταν πιο σωστό αντί να γράψεις

Έπεται ότι το σύνολο των αριθμών αυτής της μορφής είναι κλειστό στην πράξη του πολλαπλασιασμού

να γράψεις

Ο πολλαπλασιασμός ενός στοιχείου του συνόλου με ακέραιο είναι στοιχείο του συνόλου.

#5

Σωστά αλλά να το συγκεκριμενοποιήσουμε λίγο:

Αφού όπως έδειξε ο Παναγιώτης $\displaystyle{ \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n} \to 0}$ , για $\varepsilon > 0$ υπάρχει

ώστε $\displaystyle{ 0 < a_n < \varepsilon}$ όπου $a_n = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$ .

Άρα υπάρχει και $k \in \mathbb{N}$ ώστε $|ka_n-\sqrt{2}| < \varepsilon$ . (Π.χ. παίρνοντας τον μικρότερο φυσικό

ώστε $ka_n > \sqrt{2}$ .)

Όμως ο $ka_n = \sqrt[3]{k^3(n+1)} - \sqrt[3]{k^3n}$ είναι της ζητούμενης μορφής.

Οπότε όντως το $\sqrt{2}$ είναι όριο αριθμών αυτής της μορφής.

Putnam 1990/A2

Putnam 1990/A2

Re: Putnam 1990/A2

Re: Putnam 1990/A2

Re: Putnam 1990/A2

Re: Putnam 1990/A2

Μέλη σε σύνδεση