Γραμμική άλγεβρα από Putnam

#1

Δίνονται $n \times n$ πίνακες A,B,C,D

(με στοιχεία από κάποιο σώμα

) ώστε
(α) Οι πίνακες AB^T

και

είναι συμμετρικοί, και
(β) AD^T - BC^T = I

Να δειχθεί ότι A^TD - C^TB = I

.

#2

Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι

$AB^T = \left(AB^T)^T = BA^T$ ,

$CD^T = \left(CD^T)^T = DC^T$ και

AD^T - BC^T = I_n

.

Παίρνοντας αναστρόφους (transposes) στην τελευταία σχέση
βρίσκουμε ότι

DA^T - CB^T = I_n

.

Οι σχέσεις αυτές είναι ισοδύναμες με την ισότητα των $2n \times 2n$ πινάκων

$\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&B\\ C&D \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{D^T}}&{ - {B^T}}\\ { - {C^T}}&{{A^T}} \end{array}} \right) = {I_{2n}}}$ .

Αλλά τότε θα ισχύει και η σχέση

$\displaystyle{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{D^T}}&{ - {B^T}}\\ { - {C^T}}&{{A^T}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A&B\\ C&D \end{array}} \right) = {I_{2n}}}$ ,

από όπου προκύπτει άμεσα ότι

A^TD - C^TB = I_n

,

καθώς και

$\displaystyle{{D^T}A - {B^T}C = {I_n}}$ ,

$\displaystyle{{D^T}B = {B^T}D}$ και

$\displaystyle{{C^T}A = {A^T}C}$ .

#3

Πολύ ωραία. Ήταν το πρόβλημα B6 του 1986. Εντύπωση μου προκάλεσε το γεγονός ότι από τους πρώτους 200 διακριθέντες μόλις 3 έλυσαν το πρόβλημα πλήρως, άλλοι 32 το προσπάθησαν αλλά δεν πήραν κανένα βαθμό και οι υπόλοιποι 166 έδωσαν λευκή κόλλα. Η μόνη δικαιολόγηση που μπορώ να δώσω είναι η ψυχολογία του δύσκολου έκτου προβλήματος.

Χμ, οι αριθμοί αθροίζουν 201. (Μάλλον ο 200ος και ο 201ος πήραν την ίδια βαθμολογία.)

Γραμμική άλγεβρα από Putnam

Γραμμική άλγεβρα από Putnam

Re: Γραμμική άλγεβρα από Putnam

Re: Γραμμική άλγεβρα από Putnam

Μέλη σε σύνδεση