Αντιστρέψιμοι πίνακες με ακέραιες τιμές.

#1

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του θετικού ακεραίου

ώστε να ισχύει το ακόλουθο:

Αν A,B

είναι $3 \times 3$ πίνακες με ακέραιες τιμές ώστε όλοι οι πίνακες της μορφής A+kB

με $k \in \{0,1,\ldots,n\}$ να είναι αντιστρέψιμοι και οι αντίστροφοι να έχουν ακέραιες τιμές, τότε και ο πίνακας A+(n+1)B

είναι αντιστρέψιμος με τον αντίστροφο να έχει ακέραιες τιμές.

Γενίκευση: Τι συμβαίνει αν έχουμε $m \times m$ πίνακες. (Δεν γνωρίζω την απάντηση, ούτε και την δυσκολία.)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dement · #2

Προφανώς η ιδιότητα "ο

είναι αντιστρέψιμος με ... ακέραιες τιμές" εκφράζεται πιο απλά ως $| \det A| = 1$ .

Εστω πίνακες A, B

με $|\det A| = |\det (A+B)| = |\det (A+2B)| = |\det (A+3B)| = |\det (A+4B)| = 1$ και έστω $\det A = 1$ (ομοίως για $\det A = -1$ ). Συμβολίζω με $M_{XYZ}$ τον πίνακα του οποίου η πρώτη στήλη είναι η πρώτη στήλη του

, η δεύτερη είναι η δεύτερη του

και η τρίτη είναι η τρίτη του

.

Θέτουμε $x = \det (M_{AAB}) + \det (M_{ABA}) + \det (M_{BAA})$ ,
$\ y = \det (M_{ABB}) + \det (M_{BAB}) + \det (M_{BBA}), \ z = \det B$ .

Τότε, $\det (A+B) - \det A = x + y + z \in \{0, -2 \}$ , $\det (A+2B) - \det A = 2x + 4y + 8z \in \{0, -2 \}$ , $\det (A+3B) - \det A = 3x + 9y + 27z = 0$ και $\det (A+4B) - \det A = 4x + 16y + 64z = 0$ (οι δυο τελευταίοι δε μπορούν να έχουν απόλυτη τιμή

λόγω διαιρετότητας με το

και το

αντίστοιχα). Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η μοναδική λύση του συστήματος είναι η x = y = z = 0

και έτσι $| \det (A + kB) | = 1$ για κάθε $k \in \mathbb{Z}$ . Ετσι, για n = 4

ισχύει.

Επίσης, θέτοντας

$A = \left( \begin{array}{c c c} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ βλέπουμε ότι $\det A = \det(A+3B) = 1, \det (A+B) = \det (A+2B) = -1, \det(A+4B) = 5$ . Ετσι, δεν ισχύει για n = 3

.

Αρα το ελάχιστο

είναι

.

Αντιστρέψιμοι πίνακες με ακέραιες τιμές.

Αντιστρέψιμοι πίνακες με ακέραιες τιμές.

Re: Αντιστρέψιμοι πίνακες με ακέραιες τιμές.

Μέλη σε σύνδεση