Εύρεση τύπου ακολουθίας-(Μάλλον αρκετά δύσκολη)

Mulder · #1

Έστω ακολουθία πραγματικών αριθμών που ορίζεται αναδρομικά ως εξής $a_0=0,\ a_1=1$ και για $n\geq 2:\ a_n=4a_{n-1}-3a_{n-2}$ .Να βρεθεί γενικός(μη αναδρομικός) τύπος για την a_n

.

#2

Νομίζω πως βοηθάει το γεγονός πως:
$\displaystyle{ a_n - a_{n - 1} = 3(a_{n - 1} - a_{n - 2} ),n \ge 2 }$
Αν το εφαρμόσεις για όλους τους δείκτες απο $\displaystyle{ 2 }$
μέχρι $\displaystyle{ n }$ όλο και κάτι θα προκύψει.

Y.Γ:Φυσικά και δεν είναι λύση.Μία πρόταση έκανα,δεν έχω λύση.

#3

Για την γενική περίπτωση $\displaystyle{{x_{n + 2}} = \kappa {x_{n + 1}} + \lambda {x_n}}$ , θέτουμε $\displaystyle{{x_n} = {\omega ^n}}$ . Τότε η σχέση $\displaystyle{{x_{n + 2}} = \kappa {x_{n + 1}} + \lambda {x_n}}$ δίδει $\displaystyle{{\omega ^2} = \kappa \omega + \lambda \omega }$ .

Αν $\displaystyle{{\omega _1}{\text{ \& }}{\omega _2}}$ οι δύο ρίζες, τότε $\displaystyle{{x_n} = A \omega _1^n + B \omega _2^n}$ με τους $\displaystyle{A{\text{ \& }}B}$ προσδιοριστέους από τις αρχικές συνθήκες.

Στην περίπτωση μιγαδικών ριζών προκύπτουν τριγωνομετρικές εκφράσεις για την $\displaystyle{{x_n}}$ (από τους τύπους De Moivre).

Ιδιαίτερη διερεύνηση θέλει η ύπαρξη διπλής ρίζας.

Ένας άλλος τρόπος είναι μέσω πινάκων .. διαγωνοποίηση κ.λ.π. .. μάλλον δυσκολότερη.

#4

Μετά τη μεθοδολογική προσέγγιση απο τον Σεραφείμ με τη χρήση της χαρακτηριστικής εξίσωσης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ας δώσω κι εγώ μία προσέγγιση με στοιχειώδη μέσα
Έχω,μετά την παρατήρηση μου:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} a_n - a_{n - 1} = 3(a_{n - 1} - a_{n - 2} ) \\ a_{n - 1} - a_{n - 2} = 3(a_{n - 2} - a_{n - 3} ) \\ ...... \\ a_2 - a_1 = 3(a_1 - a_0 ) \\ \end{array} }$
Με απλή πρόσθεση κατά μέλη λαμβάνω:
$\displaystyle{ a_n -a_1 = 3(a_{n - 1} - a_0 )\mathop \Rightarrow \limits^{a_0 = 0} a_n = 3a_{n - 1}+1 }$
Σχετικά απλά προκύπτει πως η ακολουθία μας είναι γνήσια αύξουσα
(αν αρχίσω απο $\displaystyle{ a_1 - a_0 = 1 > 0 }$ καταλήγω σε $\displaystyle{ a_n -a_{n-1} > 0 }$ )

Τότε αν πολλαπλασιάσω τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη,λαμβάνω:
(Οι παράγοντες διαγράφονται,αφού έχει εξασφαλιστεί πως δεν είναι ίσοι με το μηδέν)

$\displaystyle{ a_n - a_{n - 1} = 3^{n - 2+1} (a_1 - a_0 ) \Rightarrow a_n - a_{n - 1} = 3^{n - 1} }$ .

Η παραπάνω σχέση θέτοντας στο

τιμές

και προσθέτοντας κατά μέλη δίνει τελικά ότι

$a_n = \frac{1}{2} \cdot (3^{n }-1) ,n \ge 0 }$

Συνεπώς η ζητούμενη ακολουθία είναι:
$\displaystyle{ a_0 = 0,a_1 = 1,a_n = \frac{1}{2} \cdot (3^{n }-1) ,n \ge 0 }$

Μιάς και το θέμα ξαναήρθε στην επιφάνεια ο Μπάμπης μου επεσήμανε πως έχω ξεχάσει σε κάποια προσπάθεια το a_1=1

,οπότε όλα πάνε στράφι...Έκανα μία προπάθεια επιδιόρθωσης των τύπων,ελπίζω όχι μάταια.Μπάμπη ευχαριστώ και για τη διόρθωση!

Εύρεση τύπου ακολουθίας-(Μάλλον αρκετά δύσκολη)

Εύρεση τύπου ακολουθίας-(Μάλλον αρκετά δύσκολη)

Re: Εύρεση τύπου ακολουθίας-(Μάλλον αρκετά δύσκολη)

Re: Εύρεση τύπου ακολουθίας-(Μάλλον αρκετά δύσκολη)

Re: Εύρεση τύπου ακολουθίας-(Μάλλον αρκετά δύσκολη)

Μέλη σε σύνδεση