Συμπαγή σύνολα ρητών

#1

Αν

είναι μία ακολουθία συμπαγών υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ με στοιχεία ρητούς, να αποδείξετε ότι υπάρχει συμπαγές

υποσύνολο

του $\mathbb{R}$ με στοιχεία ρητούς ώστε $K_n^c \cap S \neq \varnothing, \forall n \in \mathbb{N}$

Ilias_Zad · #2

Πρόκειται για σχετικά γνωστή πρόταση.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Μια πιο απλή δικαιολόγηση από αυτή του Ηλία που χρησιμοποιεί πολύ βαριά εργαλεία (τοπική συμπάγεια). Και με την ευκαιρεία:

Ηλία, το χρυσάφι που μας έφερες ήταν ένα βάλσαμο σ' αυτούς τους δύσκολους καιρούς. Λοιπόν

Σε κάθε διάστημα $[0,\frac {1}{n}]$ υπάρχει ένας τουλάχιστον ρητός $\displaystyle{s_n}$ που δεν ανήκει στο K_n

. Γιατί σε αντίθετη

περίπτωση, επειδή το $\displaystyle{K_n}$ είναι κλειστό,ως συμπαγές θα περιέχει και άρρητους (όρια ακολουθιών ρητών), το οποίο οδηγεί

σε αντίφαση.

Συνεπώς το σύνολο $S=\{0,s_1,s_2,...,s_n,...\}$ είναι το ζητούμενο συμπαγές (=κλειστό και φραγμένο)

Συμπαγή σύνολα ρητών

Συμπαγή σύνολα ρητών

Re: Συμπαγή σύνολα ρητών

Re: Συμπαγή σύνολα ρητών

Μέλη σε σύνδεση