Συναρτησιακή 163

#1

Να βρεθούν όλες οι 1-1, συνεχείς και επί συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , για τις οποίες

$f(x)f(y)+f(x)+f(y)=f(xy)+a, \forall x,y \in \mathbb{R}$ , όπου

σταθερός πραγματικός αριθμός.

peter · #2

Καλησπέρα!

Θέτουμε g(x)=1+f(x)

. Άρα, ισχύει g(x)g(y)=g(xy)+a

για κάθε $x,y\in \mathbb R$ . Καθώς είναι επί υπάρχει

ώστε

.

Επομένως, 0=g(xr)+a

για κάθε $x\in \mathbb R$ . Εφόσον, είναι 1-1 έπεται ότι r=0

και

.

Τώρα, η συναρτησιακή εξίσωση: g(xy)=g(x)g(y)

για κάθε

με

συνεχή, 1-1 και επί, είναι κλασική και επιλύεται κατά τα γνωστά.

Συναρτησιακή 163

Συναρτησιακή 163

Re: Συναρτησιακή 163

Μέλη σε σύνδεση