Συναρτησιακή 173

#1

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ για τις οποίες

$\displaystyle{f\left(e^{f(x)}\right)=f(x), \forall x>0}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

peter · #2

Θέτουμε $g(x)=e^{f(x)}$ . Τότε, η σ.ε. γράφεται g(g(x))=g(x)

για κάθε

.

Επομένως το πρόβλημα ανάγεται στο να βρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις $g:(0,\infty)\to (0,\infty)$ οι οποίες είναι ταυτοδύναμες.

Υποθέτουμε οτι η

δεν είναι σταθερή (προφανώς οι σταθερές αποτελούν λύση). Τότε, το $J=g(0,\infty)$ είναι μη τετριμμένο υποδιάστημα του $(0,\infty)$ . Θα δείξουμε ότι είναι το $(0,\infty)$ .

Αν όχι, τότε $\sup J=b\in (0,\infty)$ . Λόγω συνέχειας της

το

είναι max. Άρα, από Fermat g{'}(b)=0

. Άτοπο, διότι g(y)=y

για κάθε $y \in J$ .

Ομοίως, απορρίπτουμε την περίπτωση $\inf J=a>0$ . Συνεπώς, $J=(0,\infty)$ δηλαδή, g(x)=x

για κάθε

.

Συναρτησιακή 173

Συναρτησιακή 173

Re: Συναρτησιακή 173

Μέλη σε σύνδεση