Εύρεση πολυωνύμου

mathxl · #1

Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με πραγματικούς συντελεστές που έχουν την ιδιότητα

$P(x)P(2x^{2}-1)=P(x^{2})P(2x-1)$ , $\forall x\in R$

Πάλι δεν είμαι σίγουρος για τον φάκελο...θα δείξει..

#2

Λύση από Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)

Για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle x$ ισχύει:
$\displaystyle P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1):\ \ (1)$
Κάθε σταθερό πολυώνυμο $\displaystyle P(x)=c$ ικανοποιεί την (1).
Έστω $\displaystyle P(x)$ ένα μή σταθερό πολυώνυμο και έστω $\displaystyle \beta \alpha \vartheta (P(x))=k\geq 1$
Επειδή το $\displaystyle P(x)$ είναι μή σταθερό πολυώνυμο
έπεται ότι υπάρχει $\displaystyle x_o>1$ ώστε: $\displaystyle P(x)\neq 0,\ \ \forall x>x_o(>1)$ .
Έτσι για κάθε $\displaystyle x>x_o,$ έχουμε:
$\displaystyle (1)\Rightarrow \frac{P(2x^2-1)}{P(x^2)}=\frac{P(2x-1)}{P(x)}\Rightarrow f(x^2)=f(x):\ \ (2)$
όπου: $\displaystyle f(x)=\frac{P(2x-1)}{P(x)}$
Λόγω της (2) προκύπτει ότι για κάθε $\displaystyle x>x_o>1$ ισχύει:
$\displaystyle f(x)=f(x^{2^{\nu }}),\ \ \forall \nu \in N^*$
έτσι:
$\displaystyle \lim_{\nu \rightarrow +\propto }f(x)=\lim_{\nu \rightarrow +\propto }f(x^{2^{\nu }})=\lim_{\omega \rightarrow +\propto }f\omega )=\lim_{\omega\rightarrow +\propto }\frac{P(2\omega -1)}{P(\omega )}=2^k\\\Rightarrow f(x)=2^k\Rightarrow \frac{P(2x-1)}{P(x)}=2^k\Rightarrow P(2x-1)=2^kP(x)\ \ (\Sigma _1)$
$\displaystyle (\Sigma _1)\Rightarrow (P(2x-1))'=(2^k(P(x)))'\Rightarrow ...\Rightarrow P'(2x-1)=2^{k-1}P'(x):\ \ (\Sigma _2)$
$\displaystyle (\Sigma _2)\Rightarrow ...\Rightarrow P^{(2)}(2x-1)=2^{k-2}P^{(2)}(x):\ \ (\Sigma _3)$
...........................................................
$\displaystyle (\Sigma _{k-1})\Rightarrow ...\Rightarrow P^{(k-1)}(2x-1)=2P^{(k-1)}(x):\ \ (\Sigma _k)$
Από τις $\displaystyle (\Sigma _1),(\Sigma _2),...(\Sigma _{k})$ για $\displaystyle x=1$
προκύπτει ότι: $\displaystyle P(1)=P'(1)=...=P^{(k-1)}(1)=0$
Άρα το $\displaystyle P(x)$ έχει παράγοντα το $\displaystyle (x-1)^k$
και επειδή είναι $\displaystyle k$ βαθμού έπεται ότι είναι της μορφής: $\displaystyle P(x)=\alpha (x-1)^k,\ \ \alpha \in R-\left\{0 \right\}$
(ικανοποιεί την υπόθεση)
Επομένως το $\displaystyle P(x)$ είναι οποιοδήποτε σταθερό πολυώνυμο ή είναι της μορφής:
$\displaystyle P(x)=\alpha \left(x-1 \right)^k$ ,
όπου $\displaystyle \alpha$ οποιοσδήποτε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός
και $\displaystyle k$ οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος.

Εύρεση πολυωνύμου

Εύρεση πολυωνύμου

Re: Εύρεση πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση