Προβλήματα από Putnam

#1

Μαζεύω εδώ όσες ασκήσεις συζητήσαμε που (αυτές ή παρόμοιες) τέθηκαν στο διαγωνισμό Putnam. Προς το παρόν βάζω μόνο τους συνδέσμους. Θα προστεθούν αργότερα και εκφωνήσεις. (Στις εκφωνήσεις, θα βάζω την εκφώνηση του διαγωνισμού (μεταφρασμένη). Η άσκηση που συζητήσαμε ίσως να διαφέρει.) Κάποιες είναι ακόμη άλυτες. Μελλοντικά θα αρχίσω να σημειώνω ποιες έχουμε λύσει και ποιες όχι.

Αν έκανα κάπου λάθος στην αρίθμηση ή αν έχουμε συζητήσει και άλλες που δεν έβαλα παραπομπές ενημερώστε με.

1938-1949

Putnam 1946/A1: Έστω ότι η συνάρτηση f(x) = ax^2 + bx + c

, όπου

πραγματικές σταθερές, ικανοποιεί την συνθήκη $|f(x)| \leqslant 1$ για $|x| \leqslant 1$ . Να αποδειχθεί ότι $|f{'}(x)| \leqslant 4$ για $|x| \leqslant 1$ . [Εδώ. (Άλυτη αλλά με παραπομπές.)]

Putnam 1947/B1: Έστω συνάρτηση f(x)

έτσι ώστε

και $\displaystyle{ f{'}(x) = \frac{1}{x^2 + f(x)^2}}$ για $x \geqslant 1$ . Να αποδειχθεί ότι το $\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}f(x)}$ υπάρχει και είναι μικρότερο του $1 + \pi/4$ . [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1948/A1: Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης |z^3-z+2|

όταν ο

είναι μιγαδικός με |z| = 1

. [Εδώ (Λυμένη.)]

1950-1959

Putnam 1953/A4: Από την ταυτότητα $\displaystyle{ \int_0^{\pi/2} \log \sin 2x \; dx = \int_0^{\pi/2} \log \sin x \; dx + \int_0^{\pi/2} \log \cos x \; dx + \int_0^{\pi/2} \log 2 \; dx}$ να εξάγετε την τιμή του $\displaystyle{ \int_0^{\pi/2} \log \sin 2x \; dx}$ . [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1954/A5: Αν η f(x)

είναι μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη για 0 < x < 1

τότε ο τύπος f(x) = o(x)

είναι μια συντομογραφία της πρότασης $\displaystyle{ \frac{f(x)}{x} \to 0}$ όταν $x \to 0$ . Έχοντας υπόψη αυτό, να αποδειχθεί το ακόλουθο: Αν $\displaystyle{ \lim_{x\to 0} f(x) = 0}$ και $\displaystyle{ f(x) - f\left( \frac{x}{2}\right) = o(x)}$ τότε f(x) = o(x)

. [Εδώ. (Λύση γενίκευσης.)]

Putnam 1956/A7: Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός των περιττών διωνυμικών συντελεστών σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διωνυμικό ανάπτυγμα είναι δύναμη του 2. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1957/B7: Τα πολυώνυμα P(z)

και

με μιγαδικούς συντελεστές έχουν το ίδιο σύνολο αριθμών για τις ρίζες τους αλλά ίσως με διαφορετικές πολλαπλότητες. Το ίδιο ισχύει και για τα πολυώνυμα P(z) + 1

και

. Να αποδειχθεί ότι $P(z) \equiv Q(z)$ [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1958/B1: Δεδομένου $\displaystyle{ b_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^{-1}, \, n \geqslant 1,}$ να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{ b_n = \frac{n+1}{2n}b_{n-1} + 1, \, n \geqslant 2,}$ και άρα, ως πόρισμα, $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} b_n = 2.}$ [Εδώ. (Λύση σε συνημμένο.)]

Putnam 1958/B4: Έστω

πραγματικός αριθμός και έστω

συνάρτηση ούτως ώστε

\lim_{x\to \infty} f(x) = C, \, \lim_{x\to \infty}f{''}(x) = 0.

Να αποδειχθεί ότι

\lim_{x\to \infty}f{''}(x) = 0

και

\lim_{x\to \infty}f{''}(x) = 0,

όπου οι εκθέτες δηλώνουν παραγώγους. [ Εδώ. (Λύση γενίκευσης.)]

Putnam 1959/B3: Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση $f:[0,1] \to [0,1]$ η οποία να παίρνει κάθε τιμή άπειρες φορές. [Εδώ (Λυμένη.)]

Putnam 1959/B6: Να αποδειχθεί ότι αν

και

είναι θετικοί άρρητοι ούτως ώστε $\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1}$ τότε οι ακολουθίες $[x],[2x],\ldots,[nx],\ldots$ και $[y],[2y],\ldots,[ny],\ldots$ μαζί συμπεριλαμβάνουν κάθε θετικό ακέραιο ακριβώς μία φορά. (Ο συμβολισμός [x]

εννοεί τον μεγαλύτερο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον

.) [Εδώ. (Λυμένη.)]

1960-1969

Putnam 1963/A2: Έστω $\{f(n)\}$ μια αυστηρώς αύξουσα ακολουθία θετικών ακεραίων ούτως ώστε f(2) = 2

και

και κάθε σχετικώς πρώτο ζεύγος θετικών ακεραίων

και

(ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των

και

ισούται με 1). Να αποδειχθεί ότι f(n) = n

για κάθε θετικό ακέραιο

. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1966/A6: Να αιτιολογηθεί η πρόταση $\displaystyle{ 3 = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1+\cdots}}}}}.}$ [Εδώ. (Λύση γενίκευσης σε συνημμένο.)]

Putnam 1968/B2: Έστω

ένα υποσύνολο μιας πεπερασμένης ομάδας

(ονομάζουμε την πράξη της ομάδας πολλαπλασιασμό) και το

περιέχει περισσότερα από τα μισά στοιχεία της

. Να αποδειχθεί ότι κάθε στοιχείο της

είναι γινόμενο δύο στοιχείων του

. Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1968/B6: Ένα σύνολο πραγματικών αριθμών ονομάζεται συμπαγές αν είναι κλειστό και φραγμένο. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει ακολουθία $\{K_n\}_{n=0}^{\infty}$ από συμπαγή σύνολα ρητών αριθμών ούτως ώστε κάθε συμπαγές σύνολο ρητών αριθμών να περιέχεται σε τουλάχιστον ένα K_n

. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1969/A2: Έστω D_n

η ορίζουσα τάξης

της οποίας το στοιχείο στην

-οστή γραμμή και

-οστή στήλη είναι η απόλυτος τιμή της διαφοράς των

και

. Να δειχθεί ότι το D_n

ισούται με $(-1)^{n-1}(n-1)2^{n-2}.$ [Εδώ. (Άλυτη.)]

Putnam 1969/A4: Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \int_0^1 x^x \; dx = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}n^{-n}}$ . (Η προς ολοκλήρωση συνάρτηση ισούται με 1 στο x=0

.) [Εδώ. (Άλυτη αλλά με λύση παρόμοιας άσκησης.)]

#2

1970-1979

Putnam 1970/B1: Να υπολογιστεί το
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}{\frac{1}{n^4}{\left(\prod_{k=1}^{2n}{(k^2 + n^2)}\right)}^{\frac{1}{n}}}}$ .
[Εδώ (Λυμένη.)]

Putnam 1971/A6: Έστω

πραγματικός αριθμός ούτως ώστε ο n^c

να είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο

. Να δειχθεί ότι ο

είναι μη αρνητικός ακέραιος. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1972/A1: Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν τέσσερις διαδοχικοί διωνυμικοί συντελεστές $\displaystyle{ \binom{n}{r},\binom{n}{r+1},\binom{n}{r+2},\binom{n}{r+3}}$ ( n,r

ακέραιοι

και $r+3 \leqslant n$ .) οι οποίοι να βρίσκονται σε αριθμητική πρόοδο.
[Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1973/B4:
(α) Έστω συνεχώς παραγωγίσιμη $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ με f(0) =0

και $0 < f'(x) \leqslant 1$ για κάθε

. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \left( \int_0^1 f(x) \, dx\right)^2 \geqslant \int_0^1 f(x)^3 \, dx}$

(β) Να βρεθεί παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης στο οποίο ικανοποιείται η ισότητα.

[Εδώ (Λυμένο το (α))]

Putnam 1973/B6: Στο πεδίο $0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$ :

(α) Να δειχθεί ότι το $\displaystyle{ \sin^2{\theta} \sin{2\theta}}$ λαμβάνει την μέγιστη του τιμή στα $\pi/3$ και $4\pi/3$ (και ως εκ τούτο την ελάχιστή του τιμή στα $2\pi/3$ και $5\pi/3$ ).

(β) Να δειχθεί ότι το
$\displaystyle{ \left| \sin^2{\theta} \left\{ \sin^3{(2\theta)} \cdot \sin^3{(4\theta)} \cdots \sin^3{(2^{n-1}\theta)} \right\} \sin(2^n \theta) \right|}$
λαμβάνει την μέγιστή του τιμή στο $\theta = \pi/3$ . (Το μέγιστο πιθανώς να λαμβάνεται και σε άλλα σημεία.)

(γ) Να αποδείξετε την ανισότητα $\displaystyle{ \sin^2{\theta} \cdot \sin^2{(2\theta)} \cdot \sin^2{(4\theta)} \cdots \sin^2{(2^{n-1}\theta)} \cdot \sin(2^n \theta) \leqslant \left( 3/4 \right)^n.}$

[Εδώ. (Λυμένο το (γ).)]

Putnam 1974/B2: Έστω y(x)

μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής

. Να δειχθεί ότι αν $(y{'})^2 + y^3 \to \infty$ όταν $x \to +\infty$ , τότε y(x)

και $y{'}(x) \to 0$ όταν $x \to +\infty$ . [Εδώ. (Λυμένη.) ]

Putnam 1974/B3: Να αποδειχθεί ότι αν $\alpha$ είναι ένας πραγματικός αριθμός ούτως ώστε $\cos( \pi \alpha) = 1/3$ , τότε ο $\alpha$ είναι άρρητος. (Η γωνία $\pi \alpha$ είναι σε ακτίνια. [Εδώ. (Λύση γενίκευσης.)]

Putnam 1976/A5: Στο επίπεδο (x,y)

, αν

το σύνολο των σημείων μέσα και πάνω σε ένα κυρτό πολύγωνο, έστω D(x,y)

η απόσταση του (x,y)

από το κοντινότερο σημείο του

.
(α) Να δειχθεί ότι υπάρχουν σταθερές a,b

και

, ανεξάρτητες του

, ούτως ώστε $\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-D(x,y)} \; dx \; dy = a + bL + cA,}$ όπου

είναι η περίμετρος του

και

το εμβαδόν του

.
(β) Να βρεθούν οι τιμές των a,b,c

.
[Εδώ. (Λύση σε εξωτερικό σύνδεσμο).]

Putnam 1976/A6: Έστω f(x)

δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση η οποία λαμβάνει πραγματικές τιμές, είναι ορισμένη για όλους τους πραγματικούς

και ικανοποιεί $|f(x)| \leqslant 1$ για κάθε

και

. Να δειχθεί ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός x_0

ούτως ώστε $f(x_0) + f{''}(x_0) = 0$ . [Εδώ και εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1977/B1: Να υπολογιστεί το άπειρο γινόμενο $\displaystyle{ \prod_{n=2}^{\infty} \frac{n^3 - 1}{n^3+1}.}$ Εδώ. (Λυμένη.)]

1980-1989

Putnam 1982/A3: Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \int_0^{\infty} \frac{\arctan(\pi x) - \arctan(x)}{x} \; dx}$ . [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1983/A5: Αποδείξτε ή αναιρέστε ότι υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός

ούτως ώστε [u^n] - n

να είναι άρτιος ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο

. Εδώ το

συμβολίζει τον μεγαλύτερο ακέραιο που είναι μικρότερος ή ίσος του

. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1984/B3: Αποδείξτε ή αναιρέστε την ακόλουθη πρόταση: Αν

είναι ένα πεπερασμένο σύνολο με δύο η περισσότερα στοιχεία τότε υπάρχει μια διμελής πράξη $\ast$ στο

ούτως ώστε για κάθε x,y,z

στο

(i) $x \ast z = y \ast z$ συνεπάγεται ότι x = y

(ισχύει η απαλοιφή από τα δεξιά), και
(ii) $x \ast ( y \ast z) = (x \ast y) \ast z$ (καμία περίπτωση προσεταιριστικότητας δεν ισχύει). [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1985/A5: Έστω $\displaystyle{ I_m = \int_0^{2\pi} \cos(x) \cos(2x) \cdots \cos(mx) \; dx.}$ Για ποιούς ακεραίους

, $1 \leqslant m \leqslant 10$ είναι $I_m \neq 0$ ; [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1986/B6: Έστω ότι οι A,B,C,D

είναι $n \times n$ πίνακες με τιμές σε ένα σώμα

που ικανοποιούν τις συνθήκες ότι οι AB^t

και

είναι συμμετρικοί και AD^t - BC^t = I

. Εδώ ο

είναι ο $n \times n$ ταυτοτικός πίνακας, και αν

είναι ένας $n \times n$ πίνακας, ο M^t

είναι ο ανάστροφος του

. Να δειχθεί ότι A^tD - C^tB = I

. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1987/B1: Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \int_2^4 \frac{\sqrt{\ln(9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)} + \sqrt{\ln(x+3)}} \; dx}$ Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1988/A6: Αν ένας γραμμικός μετασχηματισμός

ενός

-διάστατου διανυσματικού χώρου έχει n+1

ιδιοδιανύσματα ούτως ώστε κάθε

από αυτά να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, συνεπάγεται ότι ο

είναι βαθμωτό πολλαπλάσιο του ταυτοτικού μετασχηματισμού; Να αποδείξετε την απάντησή σας. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1989/A3: Να δειχθεί ότι αν $11z^{10} + 10iz^9 + 10iz - 11 = 0$ τότε |z| = 1

. (Εδώ το

είναι μιγαδικός αριθμός και i^2=-1

.) [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1989/B2: Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{0}^{a}{\int_{0}^{b}{e^{max\{b^2x^2,a^2y^2\}}} \; dy \; dx}}$ όπου

και

είναι θετικοί. [Εδώ. (Άλυτη αλλά με παραπομπή.)]

1990-1999

Putnam 1992/A1: Να αποδειχθεί ότι η f(n) = 1-n

είναι η μοναδική συνάρτηση ορισμένη στους ακεραίους που παίρνει ακέραιες τιμές και ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
(i) f(f(n)) = n

, για κάθε ακέραιο

,
(ii)

για κάθε ακέραιο

,
(iii)

.
[Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1992/B5 Έστω D_n

η τιμή της $(n-1) \times (n-1)$ ορίζουσας

$\displaystyle{ \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 5 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 6 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & n+1 \end{vmatrix}}.$

Είναι το σύνολο $\{D_n/n!\}_{n \geqslant 2}$ φραγμένο; [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1992/B6: Έστω $\mathcal{M}$ ένα σύνολο πραγματικών $n \times n$ πινάκων ούτως ώστε
(i) $I \in \mathcal{M}$ , όπου

είναι ο $n \times n$ ταυτοτικός πίνακας,
(ii) αν $A \in \mathcal{M}$ και $B \in \mathcal{M}$ τότε είτε $AB \in \mathcal{M}$ είτε $-AB \in \mathcal{M}$ αλλά όχι και οι δύο,
(iii) αν $A,B \in \mathcal{M}$ τότε είτε AB = BA

, είτε

,
(iv) αν $A \in \mathcal{M}$ και $A \neq I$ τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $B \in \mathcal{M}$ ούτως ώστε AB = -BA.

Να δειχθεί ότι το $\mathcal{M}$ περιέχει το πολύ n^2

πίνακες. [Εδώ. (Λυμένη).]

Putnam 1994/A4: Έστω A,B

$2 \times 2$ πίνακες με ακέραιες τιμές ούτως ώστε οι A,A+B,A+2B,A+3B

και

είναι όλοι αντιστρέψιμοι πίνακες των οποίων οι αντίστροφοι έχουν ακέραιες τιμές. Να δειχθεί ότι ο A+5B

είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του έχει ακέραιες τιμές. [Εδώ και εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1995/A5: Έστω $x_1,x_2,\ldots,x_n$ παραγωγίσιμες (πραγματικές) συναρτήσεις μιας μεταβλητής

οι οποίες ικανοποιούν
$\displaystyle{\begin{matrix} \frac{dx_1}{dt} & = & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \\ \frac{dx_2}{dt} & = & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \\ & \vdots & \\ \frac{dx_n}{dt} & = & a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n \end{matrix}}$
για κάποιες σταθερές $a_{ij} > 0$ . Ας υποθέσουμε πως για όλα τα

, $x_i(t) \to 0$ όταν $t \to \infty$ . Είναι οι συναρτήσεις $x_1,x_2,\ldots,x_n$ απαραίτητα γραμμικώς ανεξάρτητες; [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1995/B3: Σε κάθε θετικό ακέραιο με n^2

δεκαδικά ψηφία, αντιστοιχούμε την ορίζουσα του πίνακα που λαμβάνεται γράφοντας τα ψηφία του σε διάταξη ανά σειρά. Π.χ., για n=2

, στον ακέραιο 8617

αντιστοιχούμε την $\displaystyle{ \det\begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} = 50.}$ Να βρεθεί, συναρτήσει του

, το άθροισμα όλων των οριζουσών που αντιστοιχούν στους n^2

-ψήφιους ακεραίους. (Θεωρούμε ότι τα πρώτα ψηφία είναι μη μηδενικά. Για παράδειγμα, για n=2

, υπάρχουν 9000

ορίζουσες.) [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1996/A6: Έστω σταθερά $c \geqslant 0$ . Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ώστε f(x) = f(x^2 + c)

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . [Εδώ. (Άλυτη.)]

Putnam 1998/A3: Έστω

μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής με συνεχή τρίτη παράγωγο. Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο

ούτως ώστε

f(a)f{'}(a)f{''}(a)f{''}(a) \geqslant 0

. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 1999/A1: Να βρεθούν πολυώνυμα f(x),g(x)

και

, αν υπάρχουν, ούτως ώστε για κάθε

$|f(x)| - |g(x)| + h(x) = \begin{cases} - 1 & x < -1\\ 3x+2 & -1 \leqslant x \leqslant 0 \\ -2x+2 & x > 0.\end{cases}$ [Εδώ (Λύση σε συνημμένο.)]

Putnam 1999/B5: Για ακέραιο $n \geqslant 3$ , ορίζουμε $\theta = 2\pi/n$ . Να υπολογιστεί η ορίζουσα του $n \times n$ πίνακα I+A

, όπου

είναι ο $n \times n$ μοναδιαίος πίνακας και $A = (a_{jk})$ έχει στοιχεία $a_{jk} = \cos(j\theta + k \theta)$ για κάθε j,k

. [Εδώ. (Λυμένη.)]

#3

2000-2010

Putnam 2000/A5: Τρία διακεκριμένα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες βρίσκονται στο επίπεδο πάνω σε κύκλο ακτίνας r > 0

. Να δειχθεί ότι δύο εξ' αυτών των σημείων διαχωρίζονται από απόσταση τουλάχιστον $r^{1/3}$ . [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 2003: Να δειχθεί ότι, για κάθε ακέραιο n > 1

, $\displaystyle{ \frac{1}{2ne} < \frac{1}{e} - \left(1 - \frac{1}{n} \right)^n < \frac{1}{ne}.}$ [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 2003/A3: Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{|\sin{x} + \cos{x} + \tan{x} + \cot{x} + \sec{x} + \csc{x}| }$ για τους πραγματικούς αριθμούς

. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 2004/A1: Ο στατιστικολόγος της ομάδας της καλαθοσφαιρίστριας Shanille O’Keal, κρατά στοιχεία για τον αριθμό, S(N)

, των επιτυχημένων ελευθέρων βολών που έχει επιτύχει στις πρώτες

προσπάθειές της κατά την διάρκεια της χρονιάς. Στην αρχή της χρονιάς, το S(N)

ήταν μικρότερο του $80\%$ του

, αλλά με το τέλος της χρονιάς, το S(N)

ήταν περισσότερο του $80\%$ του

. Υπήρχε αναγκαστικά κάποια στιγμή κατά την οποία το S(N)

ήταν ακριβώς $80\%$ του

; [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 2005/B3: Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:(0,\infty) \to (0,\infty)$ για τις οποίες υπάρχει θετικός πραγματικός αριθμός

ούτως ώστε $\displaystyle{ f{'}\left(\frac{a}{x}\right) = \frac{x}{f(x)}}$ για κάθε x>0

. [Εδώ και εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 2006/B2: Να αποδειχθεί ότι για κάθε σύνολο $X = \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ από

πραγματικούς αριθμούς, υπάρχει μη κενό υποσύνολο

του

και ακέραιος

ούτως ώστε $\displaystyle{ \left|m + \sum_{s\in S} x_s\right| \leqslant \frac{1}{n+1}.}$ [Εδώ. (Άλυτη αλλά με λύση παρόμοιας άσκησης.)]

Putnam 2006/B5: Για κάθε συνεχή συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ , ορίζουμε $\displaystyle{I(f) = \int_0^1 x^2 f(x) \; dx}$ και $\displaystyle{J(x) =\int_0^1 x(f(x))^2 \; dx.}$ Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του I(f) - J(f)

. [Εδώ (Λυμένη.)]

Putnam 2006/B6: Έστω

ακέραιος μεγαλύτερος του 1. Έστω a_0 > 0

και $\displaystyle{ a_{n+1} = a_n + \frac{1}{\sqrt[k]{a_n}}}$ για $n \geqslant 0$ . Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n^{k+1}}{n^k}}.}$ [Εδώ. (Λυμένη γενίκευση.)]

Putnam 2007/A5: Έστω πεπερασμένη ομάδα με ακριβώς

στοιχεία τάξη

, όπου

πρώτος. Να δειχθεί ότι είτε n=0

είτε o

διαιρεί τον n+1

. [Εδώ. (Άλυτη αλλά με υποδείξεις και παραπομπές.)]

Putnam 2007/B2: Έστω ότι η $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ έχει συνεχή παράγωγο και ότι $\displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; dx = 0.}$ Να δειχθεί ότι για κάθε $\alpha \in (0,1)$ , $\displaystyle{ \int_0^{\alpha} f(x) \; dx \leqslant \frac{1}{8} \max_{0 \leqslant x \leqslant 1}{|f{'}(x)|}.}$ [Εδώ. (Λύση σε παραπομπή.)]

Putnam 2009/A3: Έστω d_n

η ορίζουσα του $n \times n$ πίνακα του οποίου τα στοιχεία, από τα αριστερά προς τα δεξιά και μετά από πάνω προς τα κάτω, είναι $\cos{1},\cos{2},\ldots,\cos{n^2}$ . (Για παράδειγμα $\displaystyle{ d_3 = \begin{vmatrix} \cos{1} & \cos{2} & \cos{3} \\ \cos{4} & \cos{5} & \cos{6} \\ \cos{7} & \cos{8} & \cos{9} \end{vmatrix}.}$ Το όρισμα του συνημιτόνου είναι πάντοτε σε ακτίνια και όχι σε μοίρες.) Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}{d_n}.}$ [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 2009/A5: Υπάρχει πεπερασμένη αβελιανή ομάδα

ούτως ώστε το γινόμενο των τάξεων όλων των στοιχείων της να ισούται με $2^{2009}$ Εδώ. (Λύση σε εξωτερικό σύνδεσμο.)]

Putnam 2010/A2 Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με
$\displaystyle{f{'}(x) = \frac{f(x+n)-f(x)}{n} }$
για κάθε πραγματικό αριθμό

και κάθε θετικό ακέραιο

. [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 2010/B5: Υπάρχει αυστηρώς αύξουσα συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ούτως ώστε f{'}(x) = f(f(x))

για κάθε

; [Εδώ. (Λυμένη.)]

Putnam 2011/A6: Έστω

μια αβελιανή ομάδα με

στοιχεία και έστω
$\displaystyle{ \{g_1=e,g_2,\ldots,g_k\} \subsetneq G}$
ένα σύνολο διακεκριμένων γεννητόρων της

. Ρίχνουμε

φορές ένα ειδικό ζάρι το οποίο επιλέγει τυχαία και με ίση πιθανότητα μεταξύ των $g_1,\ldots,g_k$ και πολλαπλασιάζουμε τα επιλεγμένα στοιχεία για να πάρουμε ένα $g \in G$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $b \in (0,1)$ ώστε το
$\displaystyle{ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{b^{2m}} \sum_{x \in G} \left(P(x = g) - \frac{1}{n}\right)^2}$
να είναι πεπερασμένο και θετικό.[Εδώ (Λύση παρόμοιας.)]

Putnam 2011/B3: Έστω πραγματικές συναρτήσεις f,g

ορισμένες σε ένα ανοικτό διάστημα το οποίο περιέχει το

. Έστω επίσης ότι η

είναι συνεχής στο

και ότι δεν ισούται πουθενά με

. Αν οι

και

είναι παραγωγίσιμες στο

πρέπει και η

να είναι παραγωγίσιμη στο

; [Εδώ (Λυμένη).]

????/??
????/??
????/??
????/??
????/??
????/??
????/??
????/??
????/??
1980/B1
????/??

Προβλήματα από Putnam

Προβλήματα από Putnam

Re: Προβλήματα από Putnam

Re: Προβλήματα από Putnam

Μέλη σε σύνδεση