Χρωματισμοί του επιπέδου (Αφιερωμένο στους φοιτητές του IMC)

[Nick1990]

Βαφουμε κάθε σημείο του επιπέδου με ένα από τα χρώματα: μπλε, πράσινο, κόκκινο.
Δείξτε ότι υπάρχουν σίγουρα 2 σημεία στο επίπεδο με το ίδιο χρώμα και απόσταση 1.

Δείξτε ακόμα ότι μπορούμε να βαψουμε τα σημεία του επιπέδου με 9 χρώματα ώστε οποιαδήποτε 2 σημεία με απόσταση 1 να έχουν διαφορετικό χρώμα.

Θα ήθελα αν γίνεται να το αφήσουμε στους φοιτητές για μερικές μέρες (4-5)

[Ilias_Zad]

Για να δούμε,
αν πάρουμε ένα μπλε σημείο, έστω Μ, και φέρουμε κύκλο με κέντρο το σημείο αυτό και ακτίνα υποστηρίζω ότι είναι όλος μπλε.
Πράγματι έστω Ν ένα σημείο του κύκλου. Τότε αν φέρουμε και έναν κύκλο ακτίνας 1 με κέντρο το Μ και έναν με κέντρο το Ν έχουμε ότι τα σημεία τομής με τα Μ,Ν σχηματίζουν δύο ισόπλευρα τρίγωνα με κοινή βάση πλευράς 1. Αρα αναγκαστικά Μ,Ν μονοχρωματικά.
Τώρα έχοντας έναν κύκλο ακτίνας μεγαλύτερης του 1 μονοχρωματικό έπεται το ζητούμενο.

Για το παράδειγμα που λές, μπορούμε να χωρίσουμε το επίπεδο σε 9-άδες τετραγώνων πλευράς 1/2 και να βάφουμε κάθε εσωτερικό τετραγώνου μαζί με την νοτιοδυτική γωνία και το εσωτερικό των προσκείμενων πλευρών του τετραγώνου σε αυτήν απο ένα διαφορετικό χρώμα.Τότε κάθε 2 σημεία ίδου χρώματος θα απέχουν απόσταση πάνω απο 1.

[Demetres]

Την έχουμε δει και εδώ. (Είναι η άσκηση 12.)

Ενδιαφέρον παρουσιάζουν και οι χρωματισμοί του χώρου. Ας δειχθεί λοιπόν ότι υπάρχει σταθερά ώστε για κάθε μπορούμε να βάψουμε τα σημεία του με χρώματα ώστε οποιαδήποτε δύο σημεία με απόσταση 1 να έχουν διαφορετικό χρώμα.

[Υπάρχει επίσης σταθερά ώστε για να κάνουμε τέτοιο χρωματισμό χρειαζόμαστε τουλάχιστον χρώματα. Αυτό όμως είναι αρκετά πιο δύσκολο. Ήταν εικασία του Erdős η οποία αποδείχθηκε από τους Frankl και Wilson το 1981.]