θεωρια αριθμών
Συντονιστής: Demetres
θεωρια αριθμών
Πως μπορούμε να βρούμε τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού : ;
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τετ Ιουν 30, 2010 1:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μετατροπή greeklish σε ελληνικά
Λόγος: Μετατροπή greeklish σε ελληνικά
Η.Γ
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: θεωρια αριθμών
Ηράκλειε καλωσόρισες στο mathematica. Να σε παρακαλέσω αν μπορείς να γράφεις στα ελληνικά αντί σε greeklish.
Για την άσκηση τώρα ας προσπαθήσουμε πρώτα να λύσουμε μια πιο εύκολη άσκηση. Μπορείς να βρεις το τελευταίο ψηφίο του αριθμού;
Για την άσκηση τώρα ας προσπαθήσουμε πρώτα να λύσουμε μια πιο εύκολη άσκηση. Μπορείς να βρεις το τελευταίο ψηφίο του αριθμού;
Re: θεωρια αριθμών
Eυχαριστώ για το καλωσόρισμα!!!
λοιπόν το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι το 9.
έχουμε υψώσει το 79 σε περιττή δύναμη...
αλλά τα 3 ψηφία δεν τα βρίσκω ...
λοιπόν το τελευταίο ψηφίο πρέπει να είναι το 9.
έχουμε υψώσει το 79 σε περιττή δύναμη...
αλλά τα 3 ψηφία δεν τα βρίσκω ...
Η.Γ
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: θεωρια αριθμών
Ωραία. Ας βρούμε τώρα τα τελευταία δύο ψηφία.
Η βασική παρατήρηση για το τελευταίο ψηφίο ήταν ότι αυτό είναι 9 αν η δύναμη είναι περιττή και 1 αν η δύναμη είναι άρτια. Κάτι παρόμοιο αλλά πιο πολύπλοκο συμβαίνει και για τα δυο τελευταία ψηφία.
Ας πολλαπλασιάσουμε το 79 με τον εαυτό του συνέχεια και ας γράψουμε κάτω τα δυο τελευταία ψηφία. Με την βοήθεια μιας υπολογιστικής βρίσκω ότι τα δυο τελευταία ψηφία είναι
79,41,39,81,99,21,59,61,19,01
και μετά ξαναρχίζει από την αρχή.
Άρα τα δυο τελευταία ψηφία θα είναι 79 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 1, 41 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 2, ... , 01 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.
Γνωρίζουμε ότι το τελευταίο ψηφίο του είναι 9 άρα τα δυο τελευταία ψηφία του είναι 19.
Η ίδια διαδικασία μπορεί να ακολουθηθεί και για τα τρία τελευταία ψηφία κ.τ.λ.
Απέφυγα πιο πάνω να αναφερθώ σε ισοϋπόλοιπα (modulo) η γνώση των οποίων δεν είναι απαραίτητη για να λυθεί η άσκηση αλλά ευκολύνουν κατά πολύ την όποια λύση και σε βάζουν στον σωστό τρόπο σκέψης. Τα έχεις ξανασυναντήσει ή όχι;
Η βασική παρατήρηση για το τελευταίο ψηφίο ήταν ότι αυτό είναι 9 αν η δύναμη είναι περιττή και 1 αν η δύναμη είναι άρτια. Κάτι παρόμοιο αλλά πιο πολύπλοκο συμβαίνει και για τα δυο τελευταία ψηφία.
Ας πολλαπλασιάσουμε το 79 με τον εαυτό του συνέχεια και ας γράψουμε κάτω τα δυο τελευταία ψηφία. Με την βοήθεια μιας υπολογιστικής βρίσκω ότι τα δυο τελευταία ψηφία είναι
79,41,39,81,99,21,59,61,19,01
και μετά ξαναρχίζει από την αρχή.
Άρα τα δυο τελευταία ψηφία θα είναι 79 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 1, 41 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 2, ... , 01 αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0.
Γνωρίζουμε ότι το τελευταίο ψηφίο του είναι 9 άρα τα δυο τελευταία ψηφία του είναι 19.
Η ίδια διαδικασία μπορεί να ακολουθηθεί και για τα τρία τελευταία ψηφία κ.τ.λ.
Απέφυγα πιο πάνω να αναφερθώ σε ισοϋπόλοιπα (modulo) η γνώση των οποίων δεν είναι απαραίτητη για να λυθεί η άσκηση αλλά ευκολύνουν κατά πολύ την όποια λύση και σε βάζουν στον σωστό τρόπο σκέψης. Τα έχεις ξανασυναντήσει ή όχι;
Re: θεωρια αριθμών
ναι τα mod τα γνωρίζω
δοκίμασα και μέσω αυτών αλλά μάταια
θα με ενδιέφερε πολύ η λύση με τα modulo
ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον
δοκίμασα και μέσω αυτών αλλά μάταια
θα με ενδιέφερε πολύ η λύση με τα modulo
ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον
Η.Γ
Re: θεωρια αριθμών
Το αποτέλεσμα αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις είναι:319.
Αρχικά θέτουμε .Άρα αρκεί να βρούμε τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού .Όμως
.
Επομένως τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού είναι 559.Τώρα αρκεί να βρούμε τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού .Όμως
.
Συνεπώς τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού είναι 319
Δημήτρης
ΥΓ.Δεν έγραψα λεπτομερώς τις πράξεις διότι είναι αρκετές αλλά εύκολες(απλοί πολλαπλασιασμοί)
Αρχικά θέτουμε .Άρα αρκεί να βρούμε τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού .Όμως
.
Επομένως τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού είναι 559.Τώρα αρκεί να βρούμε τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού .Όμως
.
Συνεπώς τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού είναι 319
Δημήτρης
ΥΓ.Δεν έγραψα λεπτομερώς τις πράξεις διότι είναι αρκετές αλλά εύκολες(απλοί πολλαπλασιασμοί)
Δημήτρης.
Re: θεωρια αριθμών
Προσοχη, η συλλογιστικη εδω δεν ειναι σωστη. Υποθετει οτι, αν τοτε . Αυτο ομως δεν ισχυει, π.χ. .Eagle έγραψε:Το αποτέλεσμα αν δεν έχω κάνει λάθος στις πράξεις είναι:319.
Αρχικά θέτουμε .Άρα αρκεί να βρούμε τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού .Όμως
.
Επομένως τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού είναι 559.Τώρα αρκεί να βρούμε τα 3 τελευταία ψηφία του αριθμού .
Δημητρης
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: θεωρια αριθμών
Βάζω μια προσέγγιση μιας και έμεινε άλυτο. (Ελπίζω οι πράξεις να είναι σωστές.)
Θέλουμε να βρούμε το και το . Αυτά τα δύο θα μας δώσουν το που είναι και η απάντηση που ζητάμε.
Έχουμε αφού ο είναι περιττός.
Για το βοηθάει να γνωρίζουμε το θεώρημα του Euler που λέει ότι αν τα είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε . Άρα .
Θέλουμε λοιπόν να υπολογίσουμε το . Έχουμε και , όπου στην τελευταία ισοτιμία χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα του Euler.
Έχουμε και άρα .
Άρα και άρα .
Θα υπολογίσουμε διαδοχικά τα και .
και τέλος
Άρα και άρα
Θέλουμε να βρούμε το και το . Αυτά τα δύο θα μας δώσουν το που είναι και η απάντηση που ζητάμε.
Έχουμε αφού ο είναι περιττός.
Για το βοηθάει να γνωρίζουμε το θεώρημα του Euler που λέει ότι αν τα είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε . Άρα .
Θέλουμε λοιπόν να υπολογίσουμε το . Έχουμε και , όπου στην τελευταία ισοτιμία χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα του Euler.
Έχουμε και άρα .
Άρα και άρα .
Θα υπολογίσουμε διαδοχικά τα και .
και τέλος
Άρα και άρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες