SEEMOUS 2011/4

#1

Έστω $f :[0,1]\to \mathbb{R}$ αύξουσα συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Ορίζουμε ακολουθίες

$\displaystyle{L_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)}$ και

$\displaystyle{U_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)}$

για $n \geqslant 1$ . Διαιρούμε το διάστημα [L_n,U_n]

σε τρία ίσα τμήματα. Να αποδειχθεί ότι για αρκετά μεγάλο

o αριθμός $\displaystyle{I= \int_0^1 f(x) \; dx}$ ανήκει στο μεσαίο από αυτά τα τμήματα.

Nick1990 · #2

Χτες βράδυ βρήκα και μια λύση για το 4ο, αλλά πιστεύω πως ισως να είναι και λάθος γιατί δε χρησημοποιώ το C^2

... Για να δούμε:

Αν

σταθερή τότε είναι προφανές, υποθέτουμε f(1) > f(0)

Ορίζω

την παράγουσα με F(0) = 0

(ολοκλήρωμα από 0 μέχρι

)
Γράφουμε:
[a_n, b_n]

για το ενδιάμεσο διάστημα και
$I = F(1) - F(0) = F(1) - F(\frac{n-1}{n}) + F(\frac{n-1}{n}) - ... - F(0)$
Και από ανάπτυγμα Taylor:
$F(\frac{i}{n}) - F(\frac{i-1}{n}) = \frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) + \frac{1}{2n^2}f'(j_i)$
οπότε είναι εύκολο να δούμε ότι:
$n(I - a_n) = -\frac{1}{3}(f(1) - f(0)) + \frac{1}{2}R_n \rightarrow (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})(f(1) - f(0)) > 0$
που ολοκληρώνει την απόδειξη για το κάτω άκρο, με το R_n

να είναι άθροισμα Riemann για την

στο

και επομένως πάει στο f(1) - f(0)

.

Για το άλλο άκρο έχουμε ομοίως:
$n(I - b_n) \rightarrow (\frac{1}{2} - \frac{2}{3})(f(1) - f(0)) < 0$
και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Χάνω πουθενά???

#3

Νίκο, δεν βλέπω τίποτα λάθος.

Νομίζω ότι η ίδια απόδειξη δείχνει ότι αν χωρίσουμε το [L_n,U_n]

σε περιττό αριθμό διαστημάτων, τότε για αρκετά μεγάλο

το $\displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; dx}$ θα βρίσκεται στο μεσαίο διάστημα.

SEEMOUS 2011/4

SEEMOUS 2011/4

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Μέλη σε σύνδεση