Με συνεφαπτομένη

vzf · #1

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\pi cot( \pi x)=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x+n}+\frac{1}{x-n}\right)=\lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^{N}\left(\frac{1}{x+n}\right)}$ ,αν $\displaystyle{x \in \mathbb{R} - \mathbb{Z}}$ .

#2

$\displaystyle{\frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 1}^N {\left( {\frac{1}{{x + n}} + \frac{1}{{x - n}}} \right)} = \frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{1}{{x + n}}} + \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{1}{{x - n}}} = \frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{1}{{x + n}}} + \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{1}{{ - n + x}}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 1}^N {\frac{1}{{x + n}}} + \sum\limits_{n = - N}^{ - 1} {\frac{1}{{n + x}}} = \sum\limits_{n = - N}^N {\frac{1}{{n + x}}} \Rightarrow \boxed{\frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{x + n}} + \frac{1}{{x - n}}} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{n = - N}^N {\frac{1}{{n + x}}} }}$ .

Από τον τύπο γινομένου του Weierstrass http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product έχουμε $\displaystyle{\sin \left( {\pi x} \right) = \pi x\prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{n^2}}}} \right)} }$ .

Τότε $\displaystyle{\ln \left( {\sin \left( {\pi x} \right)} \right) = \ln \left( {\pi x} \right) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\ln \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{n^2}}}} \right)} = \ln \left( {\pi x} \right) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\ln \left( {1 - \frac{x}{n}} \right) + \ln \left( {1 - \frac{x}{n}} \right)} \right)} \Rightarrow \frac{{\pi \cos \left( {\pi x} \right)}}{{\sin \left( {\pi x} \right)}} = \frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{x + n}} + \frac{1}{{x - n}}} \right)} \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\frac{\pi }{{\tan \left( {\pi x} \right)}} = \frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{x + n}} + \frac{1}{{x - n}}} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{n = - N}^N {\frac{1}{{n + x}}} }}$ .

Έχω την εντύπωση ότι έχει αποδειχθεί κι αλλού η παραπάνω ταυτότητα .. αλλά σύρε γύρευε που ..

#3

vzf έγραψε:Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\pi cot( \pi x)=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x+n}+\frac{1}{x-n}\right)=\lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=-N}^{N}\left(\frac{1}{x+n}\right)}$ ,αν $\displaystyle{x \in \mathbb{R} - \mathbb{Z}}$ .

Ένα ενδιαφέρον άρθρο σχετικά με τον παραπάνω τύπο, βρίσκουμε στο βιβλίο

Proofs from the book, Martin Aigner, Günter Ziegler, Springer Verlag,

στο κεφάλαιο 20: Cotagent and the Herglotz trick.

#4

Ας προσθέσω ότι η ωραία αυτή σειρά είναι καλομελετημένη και υπάρχει σε όλα τα καλά βιβλία Σειρών, π.χ. Knopp, Theory and application of infinite series στην σελίδα 205.

Επίσης να προσθέσω ότι το πρότελευταίο "συνεπάγεται" στην κομψή απόδειξη του Σεραφείμ είναι βέβαια σωστό αλλά, προσοχή, γιατί παραγωγίζουμε όρο προς όρο μία απειροσειρά συναρτήσεων.

Μ.

Με συνεφαπτομένη

Με συνεφαπτομένη

Re: Με συνεφαπτομένη

Re: Με συνεφαπτομένη

Re: Με συνεφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση