SEEMOUS 2012/1

#1

Έστω $A = (a_{ij})$ ο $n \times n$ πίνακας όπου το $a_{ij}$ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του i^j + j^i

με το

. Να βρεθεί το μέγιστο

για το οποίο ισχύει ότι $\det(A) \neq 0$ .

#2

Διαγράφηκε ως λάθος

Ilias_Zad · #3

Σιλ νομίζω κάνεις λάθος. Βγαίνει n=5 όπως το βλέπω το τελικό αποτέλεσμα- θέλει κάποιες περιπτώσεις.

#4

Βέβαια χαζομάρα, αντί να παίρνω περιοδικότητα 2 στον εκθέτη έπαιρνα 3...
Θα επιστρέψω με τις λεπτομέρειες.

Nick1990 · #5

Βρήσκω >4. Ίσως να έχασα και τίποτα στις πράξεις όμως διότι βρήσκω ότι για n=4 ισούται με 4 η ορίζουσα. Επίσης είναι <7 σίγουρα διότι για n > 6

είναι σίγουρα 0 διότι:

Ο πίνακας γράφεται:

A=B+B^t+C+C^t

όπου $B={i^j(mod3)}$ (Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι τα 2 εμφανίζονται μόνο σε γραμμές άρτιας τάξης, αλλά στίλες περιττής τάξης, πράγμα που σημαίνει ότι ποτέ δεν θα προσθέσουμε 2 2άρια που θα δώσουν 4>2 που δεν είναι υπόλοιπο. Επίσης ο πίνακας C επιλέγεται ώστε να έχει -3 σε κάποιες θέσεις έτσι ώστε στις θέσεις που έχει 1 ο

και 2 ο

να μη προκύπτει 3 αλλά 0 (το υπόλοιπο του 3 με τον εαυτό του), και είναι εύκολο να δούμε ότι αυτός ο πίνακας έχει βαθμό 1)

Στον πίνακα

έχουμε γραμμές που είναι ίσες είτε με (1,1,1,1,1...,1)

, είτε με

, οπότε αν πάρουμε
οποιεσδήποτε 3 από αυτές, ο μόνος τρόπος να είναι γραμμικά ανεξάρτητες είναι να μην υπάρχει καμία μηδενική μεταξύ αυτών, τότε όμως από αρχή περιστερώνα
τουλάχιστον 2 από αυτές θα είναι ίδες, οπότε κάθε 3 θα είναι πάντα γραμμικά εξαρτημένες. Οπότε $rank(B)=rank(B^t) \leq 2$

Άρα
$\displaystyle{rank(A) = rank(B+B^t+C+C^t) \leq rank(B) + rank(B^t) + rank(C) + rank(C^t) \leq 2+2+1+1 = 6}$
και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

Ilias_Zad · #6

Νίκο το $n \leq 6$ είναι άμεσο γιατί για n>6

οι στήλες

είναι ίδιες ( i^7=i

sto

). Τώρα για n=5,6

θέλει υπομονή και γραμμοπράξεις.

Nick1990 · #7

Ilias_Zad έγραψε:Νίκο το $n \leq 6$ είναι άμεσο γιατί για οι στήλες είναι ίδιες ( sto ). Τώρα για θέλει υπομονή και γραμμοπράξεις.

Όντως, δεν το περίμενα να είναι τόσο απλό το να απορρίψεις τα μεγάλα, γιατί για τα μικρά δεν υπάρχει τίποτα το ουσιώδες παρα μόνο γραμμοπράξεις ή ανάπτυγμα και πράξεις... άρα μάλλον κακό θέμα για διαγωνισμό.

SEEMOUS 2012/1

SEEMOUS 2012/1

Re: SEEMOUS 2012/1

Re: SEEMOUS 2012/1

Re: SEEMOUS 2012/1

Re: SEEMOUS 2012/1

Re: SEEMOUS 2012/1

Re: SEEMOUS 2012/1

Μέλη σε σύνδεση