SEEMOUS 2012/2

#1

Θεωρούμε τα ορθογώνια τρίγωνα $\triangle A_0A_1A_2, \triangle A_0A_2A_3,\ldots, \triangle A_0A_{n-1}A_n, \ldots$ όπως στην εικόνα.

: problem2.png (4.43 KiB) Προβλήθηκε 1291 φορές

Είναι δυνατόν το σύνολο $\{A_n: n\geqslant 0\}$ να μην είναι φραγμένο αλλά η σειρά $\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} m(\angle A_{n-1}A_0A_n)}$ να συγκλίνει; (Όπου $m(\angle ABC)$ είναι το μέτρο της γωνίας $\angle ABC$ .)

GVlachos · #2

Έστω ότι η σειρά συγκλίνει. Τότε υπάρχει φυσικός αριθμός

με $\displaystyle{ \sum_{n=k+1}^{\infty} m(\angle A_{n-1}A_0A_n)}<\frac{ \pi}{4}$
Τότε αν φέρουμε την κάθετη στο $A_{0}A_{k}$ στο A_k

και θεωρήσουμε σημείο

πάνω στην κάθετη τέτοιο ώστε $m(\angle BA_0A_k)=\frac{ \pi}{4}$ και το $A_{k+1}$ να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου BA_0A_k

, τότε είναι εύκολο να δούμε ότι κάθε σημείο A_n

με $n \geq k+1$ βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου αυτού, άρα το σύνολο είναι φραγμένο και η απάντηση στο ερώτημα είναι αρνητική.

#3

Έχω μπερδευτεί. Το πρόβλημα φαίνεται σχεδόν τετριμμένο και δεν βλέπω τελικά λάθος στην μετάφρασή μου. Ας το δει και κανένας (το μετέφρασα από εδώ) άλλος μπας και κάτι δεν κατάλαβα καλά. Φυσικά η πηγή δεν είναι επίσημη. Πάντως το πιο κάτω νομίζω έχει περισσότερο ενδιαφέρον:

Είναι δυνατόν το σύνολο $\{A_n: n\geqslant 0\}$ να είναι φραγμένο αλλά η σειρά $\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} m(\angle A_{n-1}A_0A_n)}$ να αποκλίνει;

Ilias_Zad · #4

Δημήτρη σωστό είναι και από όσο μίλησα με τα παιδιά είναι και το επίσημο δεύτερο. Για να τα δούμε και αναλυτικά και το αρχικό και αυτό που λες. Έχουμε ότι συγκλίνει η $\sum \arccos(\frac{a_n}{a_{n+1}})$ όπου a_n=l(A_0A_n)

γνησίως αύξουσα ακολουθία. Τώρα από κριτήριο σύγκρισης αφού $\arccos{x}>1-x$ και $\frac{\ln{x}}{1-x} \rightarrow -1$ έχουμε ότι συγκλίνει και η $\sum \ln(a_n/a_{n+1})$ άρα και η ακολουθία a_n

είναι συγκλίνουσα , άρα φραγμένη. QED
Για αυτό που λες Δημήτρη μπορούμε να δούμε ότι η $\arccos{x}$ συμπεριφέρεται σαν την $\sqrt{ 1-x^2}$ κοντά στο

οπότε για

με $a_{n+1}=\frac{n^2a_n}{n^2-1}$ θα έλεγα ότι είμαστε οκ.

Nick1990 · #5

Διαφορετικά:

Έστω ότι γίνεται, τότε αν u_1,... , u_n, ...

η ακολουθία των γωνιών, θέλουμε: $u_1 + ... + u_n + ... < +\infty$ και $|A_n|=\frac{|A_0|}{\cos{u_1}...\cos{u_n}}$ μη φραγμένο που συμβαίνει μόνο αν ${\cos{u_1}...\cos{u_n} \rightarrow 0^+ \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{+\infty}{ln(\cos{u_k})} = -\infty$ .
Όμως για αρκετά μεγάλο n_0

το $u_n < \frac{\pi}{4} \forall n \geq n_0$ (αφού $u_n \rightarrow 0$ ),
και στο $[0, \frac{\pi}{4}]$ η συνάρτηση $f(x)=ln(\cos{x})+x$ είναι αύξουσα και κάτω φραγμένη από

, οπότε:
$\sum_{k=1}^{+\infty}{ln(\cos{u_k})} \geq \sum_{k=1}^{n_0}{ln(\cos{u_k})} - \sum_{k=n_0+1}^{+\infty}{u_k} > -\infty$ , άτοπο

Άρα η απάντηση είναι αρνητική

SEEMOUS 2012/2

SEEMOUS 2012/2

Re: SEEMOUS 2012/2

Re: SEEMOUS 2012/2

Re: SEEMOUS 2012/2

Re: SEEMOUS 2012/2

Μέλη σε σύνδεση