IMC 1994/1/2

#1

Έστω συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(a,b) \to \mathbb{R}$ με $\displaystyle{ \lim_{x \to a+} f(x) = + \infty, \lim_{x \to b-}f(x) = -\infty}$ και $\displaystyle{ f'(x) + f^2(x) \geqslant -1}$ για κάθε $x \in (a,b)$ . Να αποδειχθεί ότι $b-a \geqslant \pi$ και να δοθεί παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης που να ισχύει ότι $b-a = \pi$ .

Επεξεργασία: Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση του προβλήματος.

#2

$\displaystyle{f'\left( x \right) + {f^2}\left( x \right) \geqslant - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) \geqslant - \left( {1 + {f^2}\left( x \right)} \right) \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{1 + {f^2}\left( x \right)}} \geqslant - 1 \Rightarrow \forall x \in \left( {a,b} \right):\left( {Arctanf\left( x \right) + x} \right)' \geqslant 0}$

Δηλαδή η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = Arctanf\left( x \right) + x}$ είναι αύξουσα στο διάστημα $\displaystyle{\left( {a,b} \right)}$ .

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right) = a + \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} Arctanf\left( x \right) = a + \mathop {\lim }\limits_{y \to + \infty } Arc\tan y = \frac{\pi }{2} + a}$

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} g\left( x \right) = b + \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} Arctanf\left( x \right) = b + \mathop {\lim }\limits_{y \to - \infty } Arc\tan y = - \frac{\pi }{2} + b}$

$\displaystyle{g \uparrow \Rightarrow \frac{\pi }{2} + a \leqslant - \frac{\pi }{2} + b \Rightarrow b - a \geqslant \pi }$

Μια συνάρτηση τέτοια ώστε $\displaystyle{b - a = \pi }$ είναι η $\displaystyle{f\left( x \right) = \tan \left( {a - x + \frac{\pi }{2}} \right)}$ με $\displaystyle{b = a + \pi }$ (Θαρρώ πως πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις).

#3

Παρόμοιο θέμα εδώ.

IMC 1994/1/2

IMC 1994/1/2

Re: IMC 1994/1/2

Re: IMC 1994/1/2

Μέλη σε σύνδεση