IMC 1995/1/3

#1

Έστω $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση ούτως ώστε $\displaystyle{ \lim_{x \to 0+} f'(x) = -\infty}$ και $\displaystyle{ \lim_{x \to 0+} f''(x) = +\infty}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \lim_{x \to 0+} \frac{f(x)}{f'(x)} = 0.}$

peter · #2

Έστω $\delta>0$ ώστε f''(x)>1

και

για κάθε $0<x<\delta$ . Έστω $0<x<\delta$ . Από το θεώρημα του Taylor στο $[x,\delta]$ παίρνουμε:
$f(x)-f(\delta)=(x-\delta)f'(\delta)+\frac{(x-\delta)^2}{2}f''(t)>(x-\delta)f'(\delta)+\frac{(x-\delta)^2}{2}.$

Πολλαπλασιάζοντας με $\frac{1}{f'(x)}<0$ προκύπτει ότι: $\displaystyle \frac{f(x)}{f'(x)}<\frac{f(\delta)}{f'(x)}+\frac{(x-\delta)f'(\delta)}{f'(x)}+\frac{(x-\delta)^2}{2f'(x)}.$

Εφόσον, $\lim_{x\to 0^+}f'(x)=-\infty$ παίρνουμε $\limsup_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}\leq 0$ .

Έστω $\varepsilon>0$ . Σταθεροποιούμε $0<\theta<\min\{\varepsilon,\delta\}$ . Τότε, για κάθε $0<x<\theta$ έχουμε:
$f(\theta)=f(x)+(\theta-x)f'(x)+\frac{(\theta-x)^2}{2}f''(\xi)>f(x)+(\theta-x)f'(x)+\frac{(\theta-x)^2}{2}.$

Έπεται ότι: $\displaystyle \frac{f(\theta)}{f'(x)}-(\theta-x)-\frac{(\theta-x)^2}{2f'(x)}<\frac{f(x)}{f'(x)},$ για κάθε $x\in(0,\theta)$ .

Έτσι, έχουμε $-\theta\leq \liminf_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}$ ή $-\varepsilon <\liminf_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}$ .

Καθώς το $\varepsilon>0$ ήταν τυχόν καταλήγουμε στην $0\leq \liminf_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}$ . Συνδυάζοντας με τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι $\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{f'(x)}=0$ .

Σημείωση. Μας αρκεί να είναι $\liminf_{x\to 0^+}f''(x)>0$ .

IMC 1995/1/3

IMC 1995/1/3

Re: IMC 1995/1/3

Μέλη σε σύνδεση