IMC 1996/1/2

#1

Έστω

φυσικός αριθμός. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{ \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin{nx}}{(1+2^x) \sin{x}} \, dx.}$

chris · #2

$\displaystyle I_n=\int_{-\pi }^{\pi }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}=\int_{0 }^{\pi }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}+\int_{-\pi }^{0 }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}=\int_{0 }^{\pi }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}+\int_{0 }^{\pi }{\frac{sin(nu)}{(1+2^{-u})sinu}du}=\int_{0 }^{\pi }{\frac{sinnx}{(1+2^x)sinx}dx}+\int_{0 }^{\pi }{\frac{2^{u}\cdot sin(nu)}{(1+2^{u})sinu}du} =\int_{0}^{\pi }{\frac{sin(nx)}{sinx}dx}\Longrightarrow \boxed{I_{n}-I_{n-2}=0}$

Kαθώς σύμφωνα με τον τύπο:
$\displaystyle sina-sinb=2sin\left(\frac{a}{2}-\frac{b}{2} \right)cos\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2} \right)$

είναι:
$\displaystyle I_{n}-I_{n-2}=\int_{0}^{\pi }{\frac{sin(nx)-sin(n-2)x}{sinx}dx}=\int_{0}^{\pi }{\frac{2sinx\cdot cos(n-1)x}{sinx}dx}=2\int_{0}^{\pi }{cos(n-1)xdx}=0$

Επειδή όμως εύκολα βρίσκουμε: $\displaystyle I_0=0,I_1=\pi$

τελικά:
$\displaystyle I_n=\begin{cases} 0, \;\;\; n=2k \\ \pi,\;\;\; n=2k+1 \end{cases},k\in \mathbb{N}$

IMC 1996/1/2

IMC 1996/1/2

Re: IMC 1996/1/2

Μέλη σε σύνδεση