IMC 1996/2/2

#1

Έστω $\theta$ θετικός πραγματικός αριθμός. Να δειχθεί ότι αν

φυσικός και οι $\cosh{k\theta}$ και $\cosh{(k+1)\theta}$ είναι και οι δύο ρητοί, τότε και ο $\cosh{\theta}$ είναι ρητός.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Παρατηρούμε πρώτα ότι για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ και κάθε θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ ισχύει:

$\displaystyle{\cosh \left( x \right) = \cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x - nx} \right] = \cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot \cosh \left( {nx} \right) - \sinh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot \sinh \left( {nx} \right) = }$

$\displaystyle{ = \cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot \cosh \left( {nx} \right) - \sqrt {{{\cosh }^2}\left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] - 1} \sqrt {{{\cosh }^2}\left( {nx} \right) - 1} }$

ή ισοδύναμα

$\displaystyle{\left( {{{\cosh }^2}\left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] - 1} \right)\left( {{{\cosh }^2}\left( {nx} \right) - 1} \right) = }$

$\displaystyle{ = {\cosh ^2}\left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot {\cosh ^2}\left( {nx} \right) - 2\cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] \cdot \cosh \left( {nx} \right) \cdot \cosh \left( x \right) + {\cosh ^2}\left( x \right)}$ $\bf \color{red} \left(1 \right)$

και

$\displaystyle{\cosh \left[ {\left( {n + 1} \right)x} \right] = 2\cosh \left( {nx} \right)\cosh \left( x \right) - \cosh \left[ {\left( {n - 1} \right)x} \right].}$ $\bf \color{red} \left(2 \right)$

Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{k \ge 2}$ και θέτουμε $\displaystyle{r: = \cosh \left( {k\theta } \right) \in \mathbb{Q}}$ και $\displaystyle{s := \cosh \left[ {\left( {k + 1} \right)\theta } \right] \in \mathbb{Q}.}$

Επίσης, θέτουμε $\displaystyle{u: = \cosh \left( {{k^2}\theta } \right)}$ και $\displaystyle{v: = \cosh \left[ {\left( {{k^2} - 1} \right)\theta } \right].}$

Θέτοντας στην $\bf \color{red} \left(1 \right)$ $\displaystyle{n = k}$ και $\displaystyle{x = \theta }$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{\left( {{r^2} - 1} \right)\left( {{s^2} - 1} \right) = {r^2}{s^2} - 2rs\cosh \left( \theta \right) + {\cosh ^2}\left( \theta \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow {r^2} + {s^2} - 1 = 2rs\cosh \left( \theta \right) - {\cosh ^2}\left( \theta \right)}.$ $\bf \color{red} \left(3 \right)$

Θέτοντας στην $\bf \color{red} \left(1 \right)$ $\displaystyle{n = k^2 -1}$ και $\displaystyle{x = \theta }$ βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{\left( {{u^2} - 1} \right)\left( {{v^2} - 1} \right) = {u^2}{v^2} - 2uv\cosh \left( \theta \right) + {\cosh ^2}\left( \theta \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow {u^2} + {v^2} - 1 = 2uv\cosh \left( \theta \right) - {\cosh ^2}\left( \theta \right).}$ $\bf \color{red} \left(4 \right)$

Με αφαίρεση της $\bf \color{red} \left(3 \right)$ από την $\bf \color{red} \left(4 \right)$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{{u^2} + {v^2} - {r^2} - {s^2} = 2\left( {uv - rs} \right)\cosh \left( \theta \right).}$ $\bf \color{red} \left(5 \right)$

Από τη σχέση $\bf \color{red} \left(2 \right)$ με $\displaystyle{x = k \theta }$ και $\displaystyle{x = \left( {k + 1} \right)\theta }$ προκύπτει (εύκολα) επαγωγικά ότι

$\displaystyle{u = \cosh \left( {k \cdot k\theta } \right) \in \mathbb{Q} }$

και αντίστοιχα

$\displaystyle{v = \cosh \left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)\theta } \right] \in \mathbb{Q}.} }$

Εφόσον η συνάρτηση $\displaystyle{\cosh }$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)}$ και $\displaystyle{{\theta > 0}}$ , θα είναι $\displaystyle{u > r}$ και $\displaystyle{v > s.}$ Επομένως, είναι $\displaystyle{uv - rs \ne 0}$ και από τη σχέση $\bf \color{red} \left(5 \right)$ προκύπτει ότι:

$\displaystyle{\cosh \left( \theta \right) = \frac{{{u^2} + {v^2} - {r^2} - {s^2}}}{{2\left( {uv - rs} \right)}}\in \mathbb{Q}.}$

IMC 1996/2/2

IMC 1996/2/2

Re: IMC 1996/2/2

Μέλη σε σύνδεση