IMC 1996/2/3

#1

Έστω

η υποομάδα της $GL(2,\mathbb{R})$ που γεννάται από τους πίνακες $\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} }$ και $\displaystyle{ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} }$ . Έστω

το σύνολο των πινάκων της

της μορφής $\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & a \\ b & 1\end{pmatrix} }$ .

(α) Να δειχθεί ότι η

είναι αβελιανή υποομάδα της

.
(β) Να δειχθεί ότι η

δεν είναι πεπερασμένα παραγόμενη.

#2

(α) Παρατηρούμε ότι το σύνολο

των πινάκων της μορφής $\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ με $x \in \mathbb{Q}^{\ast},y\in \mathbb{Q}$ είναι υποομάδα της $GL(2,\mathbb{R})$ η οποία περιέχει την

. Άρα κάθε πίνακας

της

είναι της μορφής $C(y) = \begin{pmatrix} 1 & y \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ με $y\in \mathbb{Q}$ και άρα κάθε δυο πίνακες της

αντιμετατίθενται. Τέλος, αν $C(y),C(z) \in H$ , τότε $C(y),C(z) \in G$ , άρα $C(y)C(z)^{-1} = C(y)C(-z) = C(y-z) \in H$ . Άρα η

είναι πράγματι ομάδα η οποία πρέπει να είναι αβελιανή.

(β) Αν η

ήταν πεπερασμένα παραγόμενη, έστω από τα $C(q_1),\ldots,C(q_k)$ , τότε κάθε πίνακας της

θα ήταν της μορφης $C(\sum n_iq_i)$ με $n_i \in \mathbb{Z}$ . Επομένως θα υπήρχε μέγιστο $d \in \mathbb{N}$ ώστε κάθε πίνακας της

θα ήταν της μορφής C(m/d)

για κάποιο $m \in \mathbb{Z}$ . Παρατηρούμε όμως ότι $A^{-n}BA^n = C(2^{-n}) \in H$ και καταλήγουμε σε άτοπο.

IMC 1996/2/3

IMC 1996/2/3

Re: IMC 1996/2/3

Μέλη σε σύνδεση