IMC 1997/1/2

#1

Έστω ότι η σειρά $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ συγκλίνει. Να εξεταστεί αν τα ακόλουθα αθροίσματα συγκλίνουν επίσης

(α) $\displaystyle{a_1 +a_2 +a_4 +a_3 +a_8 +a_7 +a_6 +a_5 +a_{16} +a_{15} + \cdots +a_9 + a_{32} + \cdots.}$
(β) $\displaystyle{a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5 +a_7 +a_6 +a_8 +a_9 +a_{11} +a_{13} +a_{15} +a_{10} + a_{12} +a_{14} +a_{16} +a_{17} +a_{19} + \cdots.}$

#2

(α) Ναι συγκλίνει. Ας υποθέσουμε πως η $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ συγκλίνει στο $\ell$ αλλά αυτό δεν ισχύει για την σειρά στο (α). Τότε χωρίς βλάβη της γενικότητας θα υπάρχει $\varepsilon > 0$ ,

αρκετά μεγάλο και $0 \leqslant r < 2^n$ ώστε
(1) $\displaystyle{\ell - \varepsilon < \sum_{k=1}^{m} a_k < \ell + \varepsilon}$ για κάθε $m \geqslant 2^n$ .
(2) $\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2^n} a_k + \sum_{k=0}^{r} a_{2^{n+1} - k} > \ell + 3\varepsilon. }$

Από τις (1) και (2) όμως λαμβάνουμε ότι

$\displaystyle{ \ell - \varepsilon < \sum_{k=1}^{2^{n+1} - r-1} a_{k} = \sum_{k=1}^{2^n} a_k + \sum_{k=1}^{2^{n+1}} a_k - \left(\sum_{k=1}^{2^n} a_k + \sum_{k=0}^{r} a_{2^{n+1} - k} \right) < \ell - \varepsilon,}$

άτοπο.

(β) Για $2^k < n \leqslant 2^{k+1}$ θέτουμε $a_n = 1/2^{k+1}$ αν

περιττός και $-1/2^{k+1}$ αν

άρτιος. Τότε η $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ συγκλίνει αλλά (για n > 1

).
(1) Tο μερικό άθροισμα με τελευταίο όρο το $a_{2^{n}}$ της δοσμένης αναδιάταξης ισούται με $\displaystyle{ 1/2.}$
(2) Tο μερικό άθροισμα με τελευταίο όρο το $a_{2^{n}-1}$ της δοσμένης αναδιάταξης ισούται με $\displaystyle{ 3/4}$

IMC 1997/1/2

IMC 1997/1/2

Re: IMC 1997/1/2

Μέλη σε σύνδεση