IMC 1997/2/3

#1

Να δειχθεί ότι η $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin(\log{n})}{n^{\alpha}} }$ συγκλίνει αν και μόνο αν $\alpha > 0$ .

peter · #2

Είναι γνωστό το εξής λήμμα τύπου Leibniz:

Λήμμα. Έστω (x_n)

ακολουθία φραγμένης κύμανσης (δηλ. $\sum_{n=1}^\infty |x_n-x_{n+1}|<\infty$ ) με $x_n\to 0$ . Τότε, η σειρά $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x_n$ συγκλίνει.

Εδώ έχουμε x_n=f(n)

, όπου $f(x)=\frac{\sin (\log x)}{x^\alpha} , \, x>0$ . Εύκολα βλέπουμε ότι $|f'(x)|\leq \frac{1+\alpha}{x^{1+\alpha}}$ για κάθε x>0

, άρα από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι $|x_n-x_{n+1}|=O(\frac{1}{n^{1+\alpha}})$ , γεγονός που αποδεικνύει ότι η (x_n)

είναι φραγμένης κύμανσης. Προφανώς, $x_n\to 0$ , άρα από το λήμμα έπεται η σύγκλιση της σειράς για κάθε $\alpha>0$ .

Αν $\alpha\leq 0$ τότε, για την ακολουθία φυσικών αριθμών $k_n=\lfloor e^{2n\pi+\pi/2}\rfloor$ , έπεται ότι ο γενικός όρος δεν πάει στο μηδέν: $|x_{k_n}|\nrightarrow 0$ .

IMC 1997/2/3

IMC 1997/2/3

Re: IMC 1997/2/3

Μέλη σε σύνδεση