IMC 1998/1/1

#1

Έστω

ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος διάστασης

και έστω

με $U_1 \subseteq U_2$ υποχώροι του

διαστάσεων 3 και 6 αντίστοιχα. Έστω $\mathcal{E}$ το σύνολο όλων των γραμμικών μετασχηματισμών $T:V \to V$ με $T(U_i) \subseteq U_i$ για i=1,2

. Να υπολογιστεί η διάσταση του $\mathcal{E}$ ως πραγματικός διανυσματικός χώρος.

kwstas12345 · #2

Θεωρώ ότι κάθε γραμμικός τελεστής του $\displaystyle \mathcal{L}\left(V,V \right)$ παριστάνεται από τον πίνακα ως πρός κάποια βάση $\displaystyle \mathcal{B}$ .Έπειδή $\displaystyle \dim U_{1}=3$ υπάρχει μια βάση $\displaystyle \left\{v_{1},v_{2},v_{3} \right\}$ .Μπορώ να επεκτείνω την βάση αυτή σε μια βάση του $U_{2}$ μιας και είναι γνήσιως υπόχωρός του ο $U_{1}$ .Άρα $\displaystyle U_{2}=\mathrm{span }\left\{v_{1},v_{2},v_{3} \right\} \oplus \mathrm{span }\left\{m_{1},m_{2} \right\}$ .Με παρόμοιο τρόπο επεκτέινουμε την βάση του τελευταίοιυ σε μια βάση ολοκλήρου του

: $\displaystyle V=\mathrm{span }\left\{v_{1},v_{2},v_{3} \right\} \oplus \mathrm{span }\left\{m_{1},m_{2} \right\}\oplus \mathrm{span }\left\{w_{1},w_{2},w_{3} \right\}$ .

Τότε επειδή οι $\displaystyle U_{1},U_{2}$ είναι

αναλλοίωτοι προκύπτει ότι η έκφραση των $\displaystyle T\left(v_{1} \right),T\left(v_{2} \right),T\left(v_{3} \right)$ θα έχουν μηδενικούς συντελεστές από την 4-η θέση και κάτω.Όμοια για τα διανύσματα $\displaystyle T\left(m_{1} \right),T\left(m_{2} \right),T\left(m_{3} \right)$ , μόνο που οι θέσεις από την 7-η και κάτω είοναι μηδέν.Τα υπόλοιπα στοιχέια της βάσης μπορούν στην αναλυσή τους στα βασικά διανύσματα να έχουν ο,τιδήποτε.Συνεπώς θεωρώντας τον γραμμικό ισομορφισμό: $\displaystyle N:\mathcal{E}\rightarrow J\subseteq \mathbb{R}^{10\times 10}:N\left(T \right)=\left(T:\mathcal{B},\amthcal{B} \right)$ .Tότε $\displaystyle \dim\mathcal{E}=\dim J=9+3\cdot 6+4\cdot 10=67$ .

IMC 1998/1/1

IMC 1998/1/1

Re: IMC 1998/1/1

Μέλη σε σύνδεση