IMC 2012/2/3

#1

Είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων

για τους οποίους ο αριθμός n!+1

διαιρεί τον (2012n)!,

πεπερασμένο ή άπειρο;

Nick1990 · #2

Η παρακάτω είναι η λύση που έδωσα στο διαγωνισμό (πήρα 9 για ένα λάθος στις πράξεις), η οποία λίγο διαφέρει από την επίσημη:

Η απάντηση είναι το πεπερασμένο. Γράφουμε:

$(2012n)! = n!\times \frac{(2n)!}{n!}\times ... \times \frac{(2012n)!}{(2011n)!} = (n!)^{2012}\binom{2n}{n}\times \binom{3n}{n}\times ... \times \binom{2012n}{n}$ που διαιρείται με $(n!)^{2012}$ .

Επειδή $((n!)^{2012},n!+1)=1$ , $n!+1|(2012n)! \Rightarrow (n!)^{2012}(n!+1)|(2012n)! \Rightarrow \frac{(2012n)!}{(n!)^{2012}(n!+1)} \geq 1$ το οποίο δεν μπορεί να συμβαίνει για άπειρους

καθώς από Strirling έχουμε:

$\frac{(2012n)!}{(n!)^{2012}(n!+1)} \sim \frac{(2012n)!}{(n!)^{2013}} \sim \frac{\sqrt{2\pi 2012n}(\frac{2012n}{e})^{2012n}}{\sqrt{2\pi n}^{2013}(\frac{n}{e})^{2013n}} = \frac{\sqrt{2\pi 2012n}(\frac{2012n}{e})^{2012n}}{\sqrt{2\pi n}^{2013}(\frac{n}{e})^{2012n}(\frac{n}{e})^n} = \frac{\sqrt{2\pi 2012n}(2012)^{2012n}}{\sqrt{2\pi n}^{2013}(\frac{n}{e})^n} = \frac{\sqrt{2\pi 2012n}}{\sqrt{2\pi n}^{2013}(\frac{n}{2012^{2012}e})^n}$

που τίνει προφανώς στο

edit: ορθογραφικό λάθος.

#3

Βάζω μια διαφορετική απάντηση που βρήκα.

Αν (n!+1)|(2012n!)

τότε κάθε πρώτος που διαιρεί τον n!+1

πρέπει να ανήκει στο διάστημα (n+1,2012n)

. Επομένως η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί τον n!+1

είναι

. Από το θεώρημα των πρώτων αριθμών, για

αρκετά μεγάλο, έχουμε το πολύ $2013n/\log{(2012n)}$ πρώτους σε αυτό το διάστημα όλους μικρότερους του 2012n

άρα πρέπει $\displaystyle{ (2012n)^{2011 \cdot \frac{2013n}{\log{(2012n)}}} = e^{2011 \cdot 2013 n} > n!+1}$ το οποίο για

αρκετά μεγάλο είναι άτοπο από Stirling.

IMC 2012/2/3

IMC 2012/2/3

Re: IMC 2012/2/3

Re: IMC 2012/2/3

Μέλη σε σύνδεση