IMC 1999/2/3

#1

Έστω $x_1,\ldots,x_n \geqslant -1$ με $\displaystyle{\sum_{k=1}^n x_k^3 = 0.}$ Να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k \leqslant \frac{n}{3}.}$

#2

Με τη "μέθοδο της εφαπτομένης" βρίσκουμε ότι ισχύει η ανισότητα:

$\displaystyle{4{x^3} \ge 3x - 1}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$

για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ { - 1, + \infty } \right)}$ .

[Πράγματι, η $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ γράφεται ισοδύναμα $\displaystyle{{\left( {2x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) \ge 0}$ ].

Έχουμε τώρα

$\displaystyle{0 = 4\sum\limits_{k = 1}^n {x_k^3} \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {3{x_k} - 1} \right)} = 3\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}} - n \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}} \le \frac{n}{3}}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

IMC 1999/2/3

IMC 1999/2/3

Re: IMC 1999/2/3

Μέλη σε σύνδεση