IMC 2000/1/3

#1

Έστω

τετραγωνικοί μιγαδικοί πίνακες ίδιας τάξης με $\mathrm{rank}(AB-BA)=1$ . Να δειχθεί ότι (AB-BA)^2 = 0

.

#2

Θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο χαρακτηρισμό της τάξης (rank) ενός πίνακα:

Για έναν $\displaystyle{m \times n}$ πίνακα $\displaystyle{X}$ ισχύει ότι $\displaystyle{\mathrm{rank}\left( X \right) = k}$ αν και μόνο αν $\displaystyle{k}$ είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε να υπάρχει $\displaystyle{m \times k}$ πίνακας $\displaystyle{C}$ και $\displaystyle{k \times n}$ πίνακας $\displaystyle{R}$ με $\displaystyle{{X = CR}}$ .

Εφόσον ισχύει ότι $\displaystyle{\mathrm{rank}\left( {AB - BA} \right) = 1}$ , υπάρχουν $\displaystyle{n \times 1}$ πίνακες (στήλες) $\displaystyle{x,y}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{{AB - BA = x{y^t}}}$ .

Αλλά είναι

$\displaystyle{tr\left( {AB - BA} \right) = tr\left( {AB} \right) - tr\left( {BA} \right) = 0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow tr\left( {x{y^t}} \right) = 0 \Rightarrow tr\left( {{y^t}x} \right) = 0 \Rightarrow {y^t}x = 0,}$

αφού ο $\displaystyle{{y^t}x}$ είναι πίνακας $\displaystyle{1 \times 1}$ .

Άρα, είναι

$\displaystyle{{C^2} = \left( {x{y^t}} \right)\left( {x{y^t}} \right) = x\left( {{y^t}x} \right){y^t} = O}$

και το ζητούμενο δείχθηκε.

Ilias_Zad · #3

Σωστά. Το αποτέλεσμα είναι άμεσο επίσης αν δούμε την Jordan μορφή του πίνακα αυτού. Από το ότι έχει rank 1

θα έχει, είτε n-2

μονοδιάστατα blocks μηδενικής ιδιοτιμής και ένα δισδιάστατο μηδενικής γενικευμένης ιδιοτιμής ,είτε n-1

μονοδιάστατα blocks μηδενικής ιδιοτιμής και ένα μονοδιάστατο μη μηδενικής. Το δεύτερο αποκλείεται λόγω του μηδενικού ίχνους και η πρώτη περίπτωση δίνει μηδενικό τετράγωνο με έναν πολλαπλασιασμό με το χέρι.

IMC 2000/1/3

IMC 2000/1/3

Re: IMC 2000/1/3

Re: IMC 2000/1/3

Μέλη σε σύνδεση