IMC 2000/2/2

#1

Έστω $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ συνεχή αλλά πουθενά μονότονη. Να δειχθεί ότι το σύνολο των σημείων στα οποία η

λαμβάνει τοπικά ελάχιστα είναι πυκνό στο [0,1]

.

#2

Demetres έγραψε:Έστω $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ συνεχή αλλά πουθενά μονότονη. Να δειχθεί ότι το σύνολο των σημείων στα οποία η λαμβάνει τοπικά ελάχιστα είναι πυκνό στο .

Χρησιμοποιώ το εξής:

Δεν υπάρχει υποδιάστημα $\displaystyle{I}$ του $\displaystyle{[0,1]}$ με την ιδιότητα:

Σε κάθε κλειστό υποδιάστημα του $\displaystyle{I}$ η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει ελάχιστο ή στο αριστερό άκρο ή στο δεξιό του άκρο.

Γιατί αλλιώς η $\displaystyle{f}$ θα ἠταν στο $\displaystyle{I}$ ή αύξουσα ή φθίνουσα.

Έστω τώρα $\displaystyle{(a,b) \subset [0,1]}$

Από το παραπάνω θα υπάρχουν $\displaystyle{m, n \in (a, \frac {a+b}{2})}$ και $\displaystyle{p,q \in (\frac {a+b}{2},b)}$ με

$\displaystyle{m<n<p<q}$ και $\displaystyle{f(m)>f(n) \wedge f(q)>f(p)}$ .(1)

Λόγω της συνέχειας η συνάρτηση θα παρουσιάζει ελάχιστο στο $\displaystyle{x_0 \in [m,q]}$ και λόγω της (1)

$\displaystyle{x_0 \in (m,q)}$ , άρα το $\displaystyle{f(x_0)}$ είναι τοπικό ελάχιστο της $\displaystyle{f}$ και $\displaystyle{x_0 \in (a,b)}$ και η απόδειξη της πυκνότητας

τελείωσε

IMC 2000/2/2

IMC 2000/2/2

Re: IMC 2000/2/2

Μέλη σε σύνδεση