IMC 2001/1/3

#1

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{ \lim_{t \to 1-} (1-t)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{1+t^n}.}$

#2

Είναι το τρίτο πρόβλημα της πρώτης μέρας του $8^{\textnormal{\gr ου}}$ IMC του 2001

Γενικότερα ισχύει ότι $\displaystyle{\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{t^m}{1+t^m}=\frac{\ln2}{1-t}+\frac{1}{4}+\mathcal O(1-t)\qquad (t\to1^-)}$ .

Από την Euler MacLaurin summation formula με

$\displaystyle{f_{t}(x)=\frac{t^x}{1+t^x}}$ , οπότε και $\displaystyle{f_{t}{'}(x)=\frac{t^x\ln t}{(1+t^x)^2}}$ και $\displaystyle{f_{t}{''}(x)=\frac{t^x(1- t^x)\ln^2t}{(1+t^x)^3}}$ , αρχικά στο $\displaystyle{[1,n]}$ και έπειτα αφήνοντας το $\displaystyle{n\to+\infty}$ θα πάρουμε

$\begin{aligned} \sum_{m=1}^{+\infty}\frac{t^m}{1+t^m} & =\int_{1}^{+\infty}\frac{t^x}{1+t^x}\,dx+\frac{t}{2(1+t)}-\frac{t\ln t}{12(1+t)^2}-\int_{1}^{+\infty}f_{t}{''}(x)\frac{B_{2}\left(\{x\}\right)}{2}\,dx\\ &\stackrel{t^x=y}{=}-\frac{\ln(1+t)}{\ln t}+\frac{t}{2(1+t)}-\frac{t\ln t}{12(1+t)^2}-\ln t\int_{t}^{0}\frac{1-y}{2(1+y)^3}B_{2}\left(\left\{\frac{\ln y}{\ln t}\right\}\right)\,dy \\ &=\frac{\ln2}{1-t}+\frac{1}{4}+\mathcal O(1-t)\qquad (t\to1^-) \end{aligned}$

επειδή το τελευταίο ολοκήρωμα φράσσεται κατ' απόλυτη τιμή από $\displaystyle{c t\ln t=\mathcal O(1-t)}$ , και επιπλέον,

$\displaystyle{-\frac{\ln(1+t)}{\ln t}=\frac{\ln2}{1-t}+\mathcal O(1-t),\quad \frac{t}{2(1+t)}=\frac{1}{4}+\mathcal O(1-t),\quad \frac{t\ln t}{12(1+t)^2}=\mathcal O(1-t)}$ .

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Είναι το τρίτο πρόβλημα της πρώτης μέρας του $8^{\textnormal{\gr ου}}$ IMC του

Εξ ου και ο τίτλος.

#4

Χμ, τελικά οι πολλές ώρες πάνω από τον υπολογιστή δεν κάνουν και πολύ καλό....

IMC 2001/1/3

IMC 2001/1/3

Re: IMC 2001/1/3

Re: IMC 2001/1/3

Re: IMC 2001/1/3

Μέλη σε σύνδεση